Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 5 trong chương 1 Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 đi sâu vào việc sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, một phần quan trọng trong việc ứng dụng toán học vào đời sống. Đạo hàm không chỉ là công cụ để tìm cực trị, điểm uốn của hàm số mà còn là phương tiện để phân tích và giải quyết các vấn đề tối ưu hóa trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các kiến thức lý thuyết sau:

• Đạo hàm và ứng dụng trong tối ưu hóa: Đạo hàm được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
• Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: Các bước giải bài toán bao gồm xác định hàm số, tìm tập xác định, tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm bằng 0, xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và tìm cực trị.
• Ứng dụng trong kinh tế, kỹ thuật: Đạo hàm được sử dụng để tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí, sản lượng trong kinh tế và tối ưu hóa thiết kế, hiệu suất trong kỹ thuật.

II. Giải bài tập Bài 5 - SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết các bài tập trong Bài 5:

Bài 5.1

Đề bài: (Ví dụ) Một công ty sản xuất x sản phẩm với chi phí C(x) = x² - 2x + 10 (triệu đồng). Tìm số sản phẩm x để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Lời giải:

1. Tính đạo hàm C'(x) = 2x - 2.
2. Giải phương trình C'(x) = 0 => 2x - 2 = 0 => x = 1.
3. Tính đạo hàm bậc hai C''(x) = 2 > 0. Vậy x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số C(x).
4. Kết luận: Chi phí sản xuất là thấp nhất khi sản xuất 1 sản phẩm.

Bài 5.2

Đề bài: (Ví dụ) Một người nông dân có 100m hàng rào để rào một khu vườn hình chữ nhật. Tìm kích thước của khu vườn để diện tích là lớn nhất.

Lời giải:

1. Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x và y. Chu vi khu vườn là 2(x + y) = 100 => x + y = 50 => y = 50 - x.
2. Diện tích khu vườn là S(x) = x(50 - x) = 50x - x².
3. Tính đạo hàm S'(x) = 50 - 2x.
4. Giải phương trình S'(x) = 0 => 50 - 2x = 0 => x = 25.
5. Tính đạo hàm bậc hai S''(x) = -2 < 0. Vậy x = 25 là điểm cực đại của hàm số S(x).
6. Khi x = 25 thì y = 50 - 25 = 25. Vậy kích thước của khu vườn để diện tích là lớn nhất là 25m x 25m.

III. Mở rộng và nâng cao

Ngoài các bài tập trong SGK, các em có thể tìm hiểu thêm các bài toán ứng dụng đạo hàm trong các lĩnh vực khác như vật lý, hóa học, sinh học. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.

Các em cũng nên tham khảo thêm các tài liệu tham khảo, các bài giảng online để hiểu sâu hơn về ứng dụng đạo hàm trong thực tế.

IV. Lời khuyên khi học tập

• Nắm vững lý thuyết trước khi giải bài tập.
• Luyện tập thường xuyên để rèn luyện kỹ năng.
• Tìm hiểu các ứng dụng thực tế của đạo hàm.
• Tham khảo các tài liệu tham khảo, bài giảng online.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!