Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa đạo hàm và các bài toán thực tế.
Tại loigiai.com.vn, chúng tôi cung cấp lý thuyết đầy đủ, chi tiết cùng với các ví dụ minh họa dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán khó.
Học toán online chưa bao giờ dễ dàng đến thế!
1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng
1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng
- Nếu s = s(t) là hàm vị trí của một vật chuyển đọng trên một đường thẳng thì v = s’(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật. Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a(t) = v’(t) = s’’(t) - Nếu C = C(t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm t, thì C’(t) là tốc độ phản ứng tức thời của chất đó tại thời điểm t - Nếu P = P(t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t, thì P’(t) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t - Nếu C = C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời C’(x) của chi phí đó đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên - Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên C’(x) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hàng hóa thứ x + 1 |
Ví dụ: Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là \(h(t) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\)
a) Tìm vận tốc của vật sau 2s
b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?
c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?
Lời giải
a) Ta có: v = h’(t) = 24,5 – 9,8t (m/s)
Do đó v(2) = 24,5 – 9,8.2 = 4,9 (m/s)
b) Vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = -4,9 < 0 nên h(t) đạt giá trị lớn nhất tại \(t = - \frac{b}{{2a}} = 2,5s\). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) = 32,625 (m)
c) Vật chạm đất khi h = 0, tức là \(2 + 24,5t - 4,9{t^2} = 0\) hay \(t \approx 5,08s\)
Vận tốc của vật lúc chạm đất là v(5,08) = 24,5 – 9,8.5,08 = -25,284 (m/s)
Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyện động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn
2. Một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản
Quy trình giải một bài toán tối ưu hóa
Bước 1. Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng trong bài toán Bước 2. Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số Q = Q(x) Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q = Q(x) bằng các phương pháp đã biết và kết luận |
Ví dụ: Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất
Đổi 1 lít = 1000 cm3
Gọi r (cm) là bán kính đáy của hình trụ, h (cm) là chiều cao của hình trụ
Diện tích toàn phần của hình trụ là \(S = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\)
Do thể tích của hình trụ là 1000 cm3 nên ta có: \(V = \pi {r^2}h = 1000\) hay \(h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}}\)
Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là \(S = 2\pi {r^2} + \frac{{2000}}{r},r > 0\)
Ta cần tìm r sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:
\(S' = 4\pi r - \frac{{2000}}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi {r^3} - 2000}}{{{r^2}}};S' = 0 \Leftrightarrow \pi {r^3} = 500 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}}\)
BBT
Khi đó: \(h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{{250\pi }}}}\)
Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy \(r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}} \approx 5,42(cm)\) và chiều cao \(h = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{{250\pi }}}} \approx 10,84(cm)\)
Đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ trong toán học, không chỉ để tìm đạo hàm của hàm số mà còn để giải quyết nhiều bài toán thực tế. Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, chuyên đề Ứng dụng đạo hàm tập trung vào việc sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán về tối ưu hóa, khảo sát hàm số và các bài toán liên quan đến vật lý, kinh tế.
Trước khi đi vào các ứng dụng cụ thể, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm:
Bài toán tối ưu hóa là một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm. Mục tiêu của bài toán tối ưu hóa là tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng cho trước. Để giải bài toán tối ưu hóa, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ: Một người nông dân muốn xây một chuồng trại hình chữ nhật có diện tích 100m2. Hỏi chuồng trại cần có kích thước như thế nào để sử dụng ít vật liệu nhất?
Đạo hàm đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát hàm số, giúp ta xác định được các đặc điểm của hàm số như khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, điểm uốn,... Để khảo sát hàm số, ta thực hiện các bước sau:
Đạo hàm còn được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác như vật lý, kinh tế,...
Để củng cố kiến thức, các bạn có thể tham khảo một số bài tập vận dụng sau:
Kết luận:
Ứng dụng đạo hàm là một chuyên đề quan trọng và có tính ứng dụng cao trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp các bạn tự tin hơn trong kỳ thi THPT Quốc gia và trong các lĩnh vực khác của cuộc sống.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
