Bài toán làm chung, làm riêng (hoặc chảy chung, chảy riêng) là một dạng toán thường gặp trong chương trình Toán 9. Dạng toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và khả năng vận dụng linh hoạt vào thực tế.
Loigiai.com.vn xin giới thiệu phương pháp giải chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập minh họa giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán thuộc dạng này.
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1. Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải hệ phương trình.
Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn, nghiệm nào không thoả mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.
Công thức cần nhớ:
Công việc = năng suất x thời gian
Lưu ý:
- Toán chung công việc có ba đại lượng tham gia là toàn bộ công việc, phần công việc trong một đơn vị thời gian và thời gian.
- Nếu một đội làm xong công việc trong \(x\) ngày thì một ngày đội đó làm được \(\frac{1}{x}\) công việc.
- Xem toàn bộ công việc là 1 = 100%.
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lưu ý: Tuỳ theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc y theo x.
Bước 1. Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau bằng cách nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp (khác 0).
Bước 2. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU). Dưới đây là hướng dẫn cụ thể với máy Fx-580VNX.
Ta viết phương trình cần giải dưới dạng \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2}\end{array} \right.\).
Ví dụ: Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\), ta viết nó dưới dạng \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\).
Khi đó, ta có \({a_1} = 2\), \({b_1} = 1\), \({c_1} = 4\), \({a_2} = - 2\), \({b_2} = 1\), \({c_2} = 0\). Lần lượt thực hiện các bước sau:
Bước 1. Vào chức năng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).
Bấm phím 1 để chọn Simul Equation (hệ phương trình).
Cuối cùng, bấm phím 2 để giải hệ hai phương trình bậc nhất
Bước 2. Ta nhập các hệ số \({a_1},{b_1},{c_1},{a_2},{b_2},{c_2}\) bằng cách bấm
Bước 3. Sau khi nhập xong, ta bấm phím =, màn hình hiện x = 1; tiếp tục bấm =, màn hình hiện y = 3. Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là (-1;2).
Chú ý:
- Muốn xoá số vừa mới nhập thì bấm phím AC, muốn thay đổi số đã nhập ở vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.
- Bấm phím ▲ hay ▼ để chuyển hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.
- Nếu máy báo Infinite Solution thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Nếu máy báo No Solution thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài toán làm chung, làm riêng (hoặc chảy chung, chảy riêng) là một ứng dụng thực tế của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong các bài toán này, ta thường gặp các đại lượng như công việc, thời gian, năng suất. Mục tiêu là tìm ra thời gian hoàn thành công việc khi có nhiều người (hoặc nguồn) cùng làm việc.
Ví dụ: Hai người cùng làm một công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình thì mất 6 giờ mới xong công việc. Nếu người thứ hai làm một mình thì mất 8 giờ mới xong công việc. Hỏi nếu cả hai người cùng làm thì mất bao lâu mới xong công việc?
Đề bài: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể. Vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ thì đầy 1/2 bể. Vòi thứ hai chảy trong 5 giờ thì đầy 1/3 bể. Hỏi nếu cả hai vòi cùng chảy thì mất bao lâu mới đầy bể?
Giải:
Ta có hệ phương trình:
| Vòi 1 | Vòi 2 | |
|---|---|---|
| Năng suất | 1/x | 1/y |
| Phương trình | 3/x = 1/2 | 5/y = 1/3 |
Giải hệ phương trình, ta được x = 6 và y = 15.
Khi cả hai vòi cùng chảy, thời gian để đầy bể là:
1/(1/6 + 1/15) = 1/(5/10 + 2/10) = 1/(7/10) = 10/7 (giờ)
Đề bài: Một người làm một công việc trong 8 giờ. Một người khác làm công việc đó trong 12 giờ. Hỏi nếu cả hai người cùng làm thì mất bao lâu mới xong công việc?
Giải: (Tương tự như bài toán làm chung, chỉ cần thay đổi cách lập phương trình)
Đề bài: Một bể nước có hai vòi chảy. Vòi thứ nhất chảy vào bể, mỗi giờ chảy được 1/3 bể. Vòi thứ hai tháo nước ra khỏi bể, mỗi giờ tháo được 1/5 bể. Bể ban đầu không có nước. Hỏi sau bao lâu bể đầy?
Giải: (Tương tự như bài toán làm chung, làm riêng, chú ý vòi thứ hai tháo nước ra nên có dấu trừ trong phương trình)
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
