đề thi vào lớp 10 toán (chuyên) năm 2024 – 2025 trường chuyên nguyễn trãi – hải dương

loigiai.com.vn giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề chính thức kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm học 2024 – 2025 trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, tỉnh Hải Dương; kỳ thi được diễn ra vào ngày 03 tháng 06 năm 2024.

Trích dẫn Đề thi vào lớp 10 Toán (chuyên) năm 2024 – 2025 trường chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương:

+ Cho số nguyên tố lẻ p và số nguyên dương a thỏa mãn: ap – 1 chia hết cho p3. Chứng minh rằng a – 1 chia hết cho p2.

+ Cho đường tròn (O) cố định và điểm A cố định trên (O), các điểm B, C thay đổi trên (O) sao cho B, C không trùng A và AC < BC. Điểm M trên đoạn BC sao cho MAC = ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và BI cắt AC tại D. Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAC. 1. Chứng minh rằng hai tam giác CJM và CIA đồng dạng. 2. Gọi P là giao điểm khác I của đường thẳng CI và đường tròn ngoại tiếp tam giác AID, đường thẳng PM cắt đường thẳng JD tại N. Chứng minh rằng bốn điểm N, M, J, C thuộc một đường tròn. 3. Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC. Chứng minh khi B, C thay đổi trên (O) thì T luôn thuộc một đường cố định.

+ Cho bảng vuông 7 x 7 gồm 49 ô vuông đơn vị như hình vẽ. Có 37 con robot được đặt vào tâm của các ô vuông đơn vị sao cho không có 2 con robot cùng nằm trong một ô. Các con robot được lập trình để di chuyển đồng loạt, với cùng tốc độ theo nguyên tắc như sau: Ban đầu, mỗi con đều di chuyển sang tâm của một ô vuông đơn vị bất kỳ chung cạnh với ô vuông nó đang đứng. Sau đó, mỗi khi chạm vào tâm của ô vuông đến, nó sẽ quay một góc 90° và di chuyển tiếp theo hướng đó sang tâm của ô tiếp theo và cứ tiếp tục di chuyển như thế (một ví dụ về cách di chuyển của một con robot như hình vẽ). Chứng minh rằng dù ban đầu có đặt các con robot như thế nào thì vẫn luôn có một thời điểm mà có hai con robot ở chung một ô vuông.