giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: khái niệm về mặt tròn xoay

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản: Khái niệm về mặt tròn xoay.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r\) nằm trên một mặt phẳng \((P).\) Từ những điểm \(M\) thuộc đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với \((P).\) Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục của mặt trụ và bán kính của mặt trụ đó.

Lời giải:

Qua tâm \(O\) của đường tròn kẻ đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \((P).\) Ta có:

\(\Delta //m\) (\(m\) là đường thẳng qua \(M\) và \(m \bot (P)\) và khoảng cách giữa \(\Delta \) và \(m\) luôn bằng \(r\)).

Vậy các đường thẳng \(m\) luôn luôn nằm trên mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng \(\Delta \) và có bán kính bằng \(r.\)

Bài 2. Trong mỗi trường hợp sau đây hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:

a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư.

b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó.

c) Một tam giác vuông kể các điểm trong tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.

d) Một hình chữ nhật kể các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.

Lời giải:

a) Hình tròn xoay sinh ra bởi quay ba cạnh của hình chữ nhật quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư là hình trụ tròn xoay (hay hình trụ).

b) Hình tròn xoay sinh ra bởi một tam giác cân quay quanh trục đối xứng của nó là hình nón tròn xoay (hay là hình nón).

c) Khối tròn xoay đó gọi là khối nón tròn xoay.

d) Khối tròn xoay đó gọi là khối trụ tròn xoay.

Bài 3. Cho hình nón tròn xoay có đường cao \(h = 20cm\), bán kính đáy \(r = 25cm.\)

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

b) Tính thể tích của khối nón tạo bởi hình nón đó.

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là \(12cm.\) Tính diện tích thiết diện.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức: \({S_{xq}} = \pi .r.l.\)

Độ dài đường sinh của mặt nón là:

\(l = \sqrt {O{I^2} + I{M^2}} \) \( = \sqrt {400 + 625} .\)

\( \Rightarrow l = \sqrt {1025} .\)

\( \Rightarrow {S_{xq}} = \pi .25.\sqrt {1025} \) \( \approx 2514,5\) \(\left( {c{m^2}} \right).\)

b) Thể tích của khối nón là:

\(V = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h\) \( = \frac{1}{3}.\pi {.25^2}.20 \approx 13089,969\) \(\left( {c{m^3}} \right).\)

c) Giả sử mặt phẳng \((\alpha )\) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cân \(OMN.\) Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN\), ta có: \(IH \bot MN\) và \(OH \bot MN\) \( \Rightarrow MN \bot (OIH).\)

Từ \(I\) hạ \(IK \bot OH\), khi đó \(IK = 12\) là khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \((\alpha )\) chứa thiết diện \(OMN.\)

Xét tam giác vuông \(OIH\), ta có: \(\frac{1}{{I{K^2}}} = \frac{1}{{I{O^2}}} + \frac{1}{{I{H^2}}}.\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{I{H^2}}} = \frac{1}{{I{K^2}}} – \frac{1}{{I{O^2}}}\) \( = \frac{1}{{{{12}^2}}} – \frac{1}{{{{20}^2}}} = \frac{1}{{225}}\) \( \Rightarrow IH = 15cm.\)

\(O{H^2} = O{I^2} + I{H^2}\) \( = {20^2} + {15^2}\) \( \Rightarrow OH = 25cm.\)

\(MN = loigiai.com.vn\) \( = 2\sqrt {I{M^2} – I{H^2}} \) \( = 2\sqrt {{{25}^2} – {{15}^2}} \) \( = 40cm.\)

Vậy diện tích của thiết diện là diện tích của \(\Delta OMN\) và:

\(S = \frac{1}{2}loigiai.com.vn = 500c{m^2}.\)

Bài 4. Trong không gian cho hai điểm \(A\), \(B\) cố định và có độ dài \(AB = 20cm.\) Gọi \(d\) là đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua \(A\) và cách \(B\) một khoảng bằng \(10cm.\) Chứng tỏ rằng đường thẳng \(d\) luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó.

Lời giải:

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(AB\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên đường thẳng \(d\), ta có: \(BH = 10cm\) \( \Rightarrow \sin \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{1}{2}.\)

\( \Leftrightarrow \widehat {BAH} = {30^0}\), hay góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và đường thẳng \(d\) là \({30^0}.\)

Vậy đường thẳng \(d\) luôn luôn nằm trên mặt nón tròn xoay có trục là đường thẳng qua \(AB\) và góc ở đỉnh là \(2\alpha = {60^0}.\)

Bài 5. Một hình trụ có bán kính đáy \(r = 5cm\) và có khoảng cách giữa hai đáy bằng \(7cm.\)

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.

b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục \(3cm.\) Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức, ta có:

Diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi .r.l\) \( = 2\pi .5.7 \approx 219,91c{m^2}.\)

Thể tích của khối trụ là: \(V = \pi .{r^2}.h\) \( = \pi {.5^2}.7 \approx 549,77c{m^3}.\)

b) Ta thấy thiết diện là hình chữ nhật \(ABCD\) nằm trong mặt phẳng song song với trục \(OO’\) và cách \(OO’\) một khoảng bằng \(3cm.\)

Kẻ \(OI \bot AB\), ta có \(OI \bot BC.\)

\( \Rightarrow OI \bot mp(ABCD).\)

Vậy \(OI = 3cm.\)

Ta có: \(AB = 2AI\) \( = 2\sqrt {O{A^2} – O{I^2}} \) \( \Rightarrow AB = 2\sqrt {25 – 9} = 8cm.\)

Vậy diện tích của thiết diện là: \(S = loigiai.com.vn\) \( = 8.7 = 56c{m^2}.\)

Bài 6. Cắt một hình nón qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh \(2a.\) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.

Lời giải:

Giả sử thiết diện là tam giác đều \(OAB\), ta có: \(AB\) là đường kính của đường tròn đáy của hình chóp.

Suy ra bán kính đường tròn đáy là \(r = \frac{{AB}}{2} = a.\)

Đồng thời \(OA\) là đường sinh và \(OI\) là chiều cao của hình chóp, ta có: \(OA = 2a\) và \(OI = \sqrt {O{A^2} – I{A^2}} = a\sqrt 3 .\)

Diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi .r.l = 2\pi {a^2}.\)

Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)

Bài 7. Một hình trụ có bán kính \(r\) và chiều cao \(h = r\sqrt 3 .\)

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích khối trụ tạo bởi hình trụ đã cho.

c) Cho hai điểm \(A\), \(B\) lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa \(AB\) với trục của hình trụ bằng \({30^0}.\) Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(AB\) với trục của hình trụ.

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi .r.l = 2\sqrt 3 \pi .{r^2}.\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{{\rm{đáy}}}}\) \( = 2\sqrt 3 \pi .{r^2} + 2\pi .{r^2}.\)

\({S_{tp}} = 2(\sqrt 3 + 1)\pi .{r^2}.\)

b) Thể tích của khối trụ tạo bởi hình trụ là: \(V = \pi .{r^2}.h = \sqrt 3 \pi .{r^3}.\)

c) Gọi mặt phẳng \((P)\) là mặt phẳng qua \(AB\) và \((P)//OO’\), trục của hình trụ. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng \((P)\) và hình trụ là hình chữ nhật \(AB’BA’.\)

Góc giữa \(OO’\) và \(AB\) cũng chính là góc giữa \(AA’\) và \(AB\) (do \(AA’ // OO’\)).

\( \Rightarrow \widehat {BAA’} = {30^0}.\)

Ta có: \(\tan \widehat {BAA’} = \frac{{BA’}}{{AA’}}\) \( \Rightarrow A’B = AA’.\tan \widehat {BAA’}.\)

\( \Rightarrow A’B = \sqrt 3 .r.\tan {30^0} = r.\)

Kẻ \(IO \bot AB’\), \(I \in AB’.\)

\( \Rightarrow IO = \sqrt {O{A^2} – I{A^2}} \) \( = \sqrt {{r^2} – \frac{{{r^2}}}{4}} = \frac{{r\sqrt 3 }}{2}.\)

Do mặt phẳng \((P)\) chứa hình chữ nhật \(AB’BA’\) song song với trục \(OO’\) nên khoảng cách giữa \(OO’\) và mặt phẳng \((P)\) cũng chính là khoảng cách giữa \(AB\) và \(OO’\) và bằng \(OI = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{2}.\)

Bài 8. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn \({(O;r)}\) và \((O’;r)\), khoảng cách giữa hai đáy là \(OO’ = r\sqrt 3 .\) Một hình nón có đỉnh là \(O’\) và đáy là hình tròn \((O;r).\)

a) Gọi \({S_1}\) là diện tích xung quanh của hình trụ và \({S_2}\) là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}.\)

b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Lời giải:

a) Ta có: \({S_1} = 2\pi .r.h = 2\sqrt 3 .\pi .{r^2}.\)

Độ dài đường sinh của hình nón là:

\(O’M = \sqrt {O{M^2} + OO{‘^2}} = 2r.\)

\( \Rightarrow {S_2} = \pi .r.l = 2.\pi .{r^2}.\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{2\sqrt 3 \pi .{r^2}}}{{2\pi .{r^2}}} = \sqrt 3 .\)

b) Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối nón.

\({V_1} = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h = \frac{{\pi .{r^3}.\sqrt 3 }}{3}.\)

Còn \({V_2}\) là thể tích của phần không gian phía ngoài khối nón và trong khối trụ.

Ta có: Thể tích khối trụ: \(V = \pi .{r^2}.h = \pi {r^3}\sqrt 3 .\)

\( \Rightarrow {V_2} = V – {V_1}\) \( = \pi {r^3}\sqrt 3 – \frac{{\pi {r^3}\sqrt 3 }}{3}\) \( = \frac{{2\pi {r^3}\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}.\)

Bài 9. Cắt hình nón đỉnh \(S\) bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân và cạnh huyền bằng \(a\sqrt 2 .\)

a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.

b) Cho dây cung \(BC\) của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng \((SBC)\) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc bằng \({60^0}.\) Tính diện tích tam giác \(SBC.\)

Lời giải:

a) Ta có tam giác \(SAA’\) vuông cân tại \(S\), \(AA’ = a\sqrt 2 \), suy ra:

Bán kính đường tròn đáy \(r = OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), độ dài đường sinh \(l = SA = AA’.\sin {45^0} = a.\)

Diện tích xung quanh hình nón:

\({S_{xq}} = \pi .r.l = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)

Diện tích đáy hình nón là:

\({S_{{\rm{đáy}}}} = \pi .{r^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{2}.\)

Thể tích của khối nón tương ứng là:

\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h.\)

Do \(\Delta SAA’\) vuông cân nên chiều cao của khối nón là \(SO\) và \(SO = \frac{{AA’}}{2}.\)

\( \Rightarrow h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi {r^2}{h^2}\) \( = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \( = \frac{{\sqrt 2 .r.{a^3}}}{{12}}.\)

b) Gọi \(I\) là trung điểm của dây cung \(BC\), ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{OI \bot BC}\\

{SI \bot BC}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) góc giữa mặt phẳng \((SBC)\) và mặt phẳng chứa đường tròn đáy là \(\widehat {OIS} = {60^0}.\)

Xét tam giác vuông \(SOI\), ta có:

\(\tan \widehat {OIS} = \frac{{SO}}{{OI}}\) \( \Rightarrow OI = \frac{{SO}}{{\tan \widehat {OIS}}}\) \( = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.\)

\(SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right)}^2}} \) \( = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)

Mặt khác: \(BC = 2IB\) \( = 2\sqrt {O{B^2} – O{I^2}} \) \( = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)

Diện tích tam giác \(SBC\) là: \(S = \frac{1}{2}.loigiai.com.vn\) \( = \frac{1}{2}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) \( = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}.\)

Bài 10. Cho hình trụ có bán kính \(r\) và chiều cao cũng bằng \(r.\) Một hình vuông \(ABCD\) có hai cạnh \(AB\) và \(CD\) lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh \(BC\) và \(AD\) không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và côsin góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.

Lời giải:

Kẻ hai đường sinh \(AA’\) và \(BB’\) của hình trụ, khi đó \(A’B’CD\) là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn đáy của hình trụ.

Ta có: Đường kính \(A’C = 2r\), \(AA’ = r.\)

\( \Rightarrow A{C^2} = A'{C^2} + AA{‘^2} = 5{r^2}.\)

Mặt khác \(ABCD\) là hình vuông nên \(A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = 2A{D^2}.\)

\( \Rightarrow A{D^2} = \frac{{A{C^2}}}{2} = \frac{5}{2}{r^2}\) \( \Leftrightarrow AD = \frac{{r\sqrt {10} }}{2}.\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = A{D^2} = \frac{{5{r^2}}}{2}.\)

Hình chữ nhật \(A’B’CD\) là hình chiếu của hình vuông \(ABCD\) lên mặt đáy hình trụ. Ta có: \(A’D = \sqrt {A'{C^2} – C{D^2}} \) \( = \sqrt {4{r^2} – \frac{5}{2}{r^2}} \) \( = \frac{{r\sqrt 6 }}{2}.\)

\( \Rightarrow {S_{A’B’CD}} = A’loigiai.com.vn\) \( = \frac{{r\sqrt 6 }}{2}.\frac{{r\sqrt {10} }}{2}\) \( = \frac{{{r^2}\sqrt {15} }}{2}.\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa mặt phẳng đáy và mặt phẳng \((ABCD)\) ta có:

\({S_{A’B’CD}} = {S_{ABCD}}.\cos \alpha \) \( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{{S_{A’B’CD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \sqrt {\frac{3}{5}} .\)