giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: phương trình mặt phẳng

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản: Phương trình mặt phẳng.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Các bài tập sau đây đều xét trong không gian \(Oxyz.\)

Bài 1. Viết phương trình của mặt phẳng:

a) Đi qua điểm \(M(1; – 2;4)\) và nhận \(\vec n = (2;3;5)\) làm vectơ pháp tuyến.

b) Đi qua điểm \(A(0; – 1;2)\) và song song với giá của hai vectơ \(\overrightarrow u = (3;2;1)\) và \(\overrightarrow v = ( – 3;0;1).\)

c) Đi qua ba điểm \(A( – 3;0;0)\), \(B(0; – 2;0)\) và \(C(0;0; – 1).\)

Lời giải:

a) Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(M(1; – 2;4)\) và nhận \(\overrightarrow n = (2;3;5)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình:

\(2(x – 1) + 3(y + 2) + 5(z – 4) = 0\) hay \(2x + 3y + 5z – 16 = 0.\)

b) Do mặt phẳng \((\beta )\) cần tìm đi qua \(A(0; – 1;2)\) và song song với giá của hai vectơ \(\overrightarrow u = (3;2;1)\) và \(\overrightarrow v = ( – 3;0;1)\) nên \((\beta )\) có một vectơ pháp tuyến:

\(\vec n = \vec u \wedge \vec v\) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}

2&1\\

0&1

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{r}}

1&3\\

1&{ – 3}

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{r}}

3&2\\

{ – 3}&0

\end{array}} \right|} \right)\) \( = (2; – 6;6).\)

Suy ra \((\beta )\) có phương trình: \(2(x – 0) – 6(y + 1) + 6(z – 2) = 0\) hay \(x – 3y + 3z – 9 = 0.\)

c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (3; – 2;0)\), \(\overrightarrow {AC} = (3;0; – 1).\)

Do \((\gamma )\) đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nên \((\gamma )\) có một vectơ pháp tuyến là:

\(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC} \) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

{ – 2}&0\\

0&{ – 1}

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

0&3\\

{ – 1}&3

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

3&{ – 2}\\

3&0

\end{array}} \right|} \right)\) \( = (2;3;6).\)

Suy ra \((\gamma )\) có phương trình \(2(x + 3) + 3(y – 0) + 6(z – 0) = 0\) hay \(2x + 3y + 6z + 6 = 0.\)

Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) với \(A(2;3;7)\), \(B(4;1;3).\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB} = (4 – 2;1 – 3;3 – 7)\) \( = (2; – 2; – 4)\) \( = 2(1; – 1; – 2).\)

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow I = (3;2;5).\)

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng trung trực của \(AB\) \( \Rightarrow (\alpha )\) nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = (1; – 1; – 2)\) làm một vectơ pháp tuyến và \((\alpha )\) đi qua \(I\), nên \((\alpha )\) có phương trình:

\(1(x – 3) – 1(y – 2) – 2(z – 5) = 0\) hay \(x – y – 2z + 9 = 0.\)

Bài 3.

a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ \((Oxy)\), \((Oyz)\), \((Oxz).\)

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \(M(2;6;-3)\) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

a) Mặt phẳng \((Oxy).\)

Mặt phẳng \((Oxy)\) đi qua \(O(0;0;0)\) và nhận vectơ \(\vec n = \vec i \wedge \vec j\) làm một vectơ pháp tuyến (\(\overrightarrow i \), \(\overrightarrow j \) lần lượt là hai vectơ đơn vị trên hai trục \(Ox\), \(Oy\)).

Mà \(\vec n = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}

0&0\\

1&0

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}

0&1\\

0&0

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}

1&0\\

0&1

\end{array}} \right|} \right) = (0;0;1).\)

Do đó mặt phẳng \((Oxy)\) có phương trình: \(0(x – 0) + 0(y – 0) + 1(z – 0) = 0\) hay \(z = 0.\)

Hoàn toàn tương tự ta có mặt phẳng \((Oyz)\) có phương trình \(x = 0\), mặt phẳng \((Ozx)\) có phương trình \(y = 0.\)

b) Phương trình mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) đi qua điểm \(M(2;6; – 3)\) và song song với mặt phẳng \((Oxy)\) nên nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \overrightarrow k = (0;0;1)\) làm vectơ pháp tuyến. Do vậy \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) có phương trình:

\(0(x – 2) + 0(y – 6) + 1(z + 3) = 0\) hay \(z + 3 = 0.\)

Hoàn toàn tương tự, ta có phương trình mặt phẳng \(\left( {{\alpha _2}} \right)\), \(\left( {{\alpha _3}} \right)\) đi qua điểm \(M\) và lần lượt song song với mặt phẳng \((Oyz)\), \((Oxz)\) có phương trình là: \(x – 2 = 0\); \(y – 6 = 0.\)

Lưu ý: Ở câu a, ta cũng chỉ cần làm như sau là đủ:

Ta có \(Oz \bot (Oxy)\) \( \Rightarrow \) mặt phẳng \((Oxy)\) nhận vectơ \(\overrightarrow k = (0;0;1)\) làm một vectơ pháp tuyến, mà \((Oxy)\) đi qua \(O(0;0;0)\), nên mặt phẳng \((Oxy)\) có phương trình: \(z = 0.\)

Bài 4. Lập phương trình của mặt phẳng:

a) Chứa trục \(Ox\) và điểm \(P(4;-1; 2).\)

b) Chứa trục \(Oy\) và điểm \(Q(1; 4; -3).\)

c) Chứa trục \(Oz\) và điểm \(R(3; -4; 7).\)

Lời giải:

a) Mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) chứa trục \(Ox\) và điểm \(P(4; -1; 2)\), nên mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) nhận \({\vec n_1} = \vec i \wedge \overrightarrow {OP} \) với \(\vec i = (1;0;0)\) là vectơ đơn vị trên trục \(Ox\), \(\overrightarrow {OP} = (4; – 1;2)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có \({\vec n_1} = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

0&0\\

{ – 1}&2

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

0&1\\

2&4

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

1&0\\

4&{ – 1}

\end{array}} \right|} \right)\) \( = (0; – 2; – 1).\)

Suy ra \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) có phương trình: \(0(x – 4) – 2(y + 1) – 1(z – 2) = 0\) hay \(2y + z = 0.\)

b) Mặt phẳng \(\left( {{\alpha _2}} \right)\) chứa \(Oy\) và điểm \(Q(1;4; – 3)\), nên \(\left( {{\alpha _2}} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_2}} = \overrightarrow j \wedge \overrightarrow {OQ} \) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

1&0\\

4&{ – 3}

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

0&0\\

{ – 3}&1

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

0&1\\

1&4

\end{array}} \right|} \right)\) \( = ( – 3;0; – 1)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Suy ra \(\left( {{\alpha _2}} \right)\) có phương trình: \( – 3(x – 1) + 0(y – 4) – 1(z + 3) = 0\) hay \(3x + z = 0.\)

c) Mặt phẳng \(\left( {{\alpha _3}} \right)\) chứa \(Oz\) và điểm \(R(3; – 4;7)\) nên \(\left( {{\alpha _3}} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_3}} = \overrightarrow k \wedge \overrightarrow {OR} \) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

0&1\\

{ – 4}&7

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

1&0\\

7&3

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

0&0\\

3&{ – 4}

\end{array}} \right|} \right)\) \( = (4;3;0)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Suy ra \(\left( {{\alpha _3}} \right)\) có phương trình: \(4(x – 3) + 3(y + 4) + 0(z – 7) = 0\) hay \(4x + 3y = 0.\)

Bài 5. Cho tứ diện có các đỉnh là \(A(5;1;3)\), \(B(1;6;2)\), \(C(5;0;4)\), \(D(4;0;6).\)

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD).\)

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD.\)

Lời giải:

a) Ta có \(\overrightarrow {AC} = (0; – 1;1)\), \(\overrightarrow {AD} = ( – 1; – 1;3).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} \wedge \overrightarrow {AD} \) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

{ – 1}&1\\

{ – 1}&3

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

1&0\\

3&{ – 1}

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

0&{ – 1}\\

{ – 1}&{ – 1}

\end{array}} \right|} \right)\) \( = ( – 2; – 1; – 1)\) \( = – (2;1;1).\)

Suy ra mặt phẳng \((ACD)\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = (2;1;1)\) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy mặt phẳng \((ACD)\) có phương trình: \(2(x – 5) + 1(y – 1) + 1(z – 3) = 0\) hay \(2x + y + z – 14 = 0.\)

Ta có \(\overrightarrow {BC} = (4; – 6;2)\), \(\overrightarrow {BD} = (3; – 6;4).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BC} \wedge \overrightarrow {BD} \) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

{ – 6}&2\\

{ – 6}&4

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

2&4\\

4&3

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

4&{ – 6}\\

3&{ – 6}

\end{array}} \right|} \right)\) \( = ( – 12; – 10; – 6)\) \( = – 2(6;5;3).\)

Suy ra mặt phẳng \((BCD)\) nhận vectơ \({\vec n_2} = (6;5;3)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Suy ra mặt phẳng \((BCD)\) có phương trình: \(6(x – 1) + 5(y – 6) + 3(z – 2) = 0\) hay \(6x + 5y + 3z – 42 = 0.\)

b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = ( – 4;5; – 1)\), \(\overrightarrow {CD} = ( – 1;0;2).\)

Ta có \(\overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {CD} \) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{r}}

5&{ – 1}\\

0&2

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{r}}

{ – 1}&{ – 4}\\

2&{ – 1}

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{r}}

{ – 4}&5\\

{ – 1}&0

\end{array}} \right|} \right)\) \( = (10;9;5).\)

Do mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\) nên mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(A(5;1;3)\) và nhận vectơ \(\vec n = \overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {CD} \) làm một vectơ pháp tuyến \( \Rightarrow (\alpha )\) có phương trình: \(10(x – 5) + 9(y – 1) + 5(z – 3) = 0\) hay \(10x + 9y + 5z – 74 = 0.\)

Bài 6. Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(M(2;-1; 2)\) và song song với mặt phẳng \((\beta ):2x – y + 3z + 4 = 0.\)

Lời giải:

Do mặt phẳng \((\alpha )\) song song với mặt phẳng \((\beta ):2x – y + 3z + 4 = 0\), nên mặt phẳng \((\alpha )\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = (2; – 1;3)\) làm một vectơ pháp tuyến, mà \((\alpha )\) đi qua điểm \(M(2; -1; 2)\), nên mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình: \(2(x – 2) – 1(y + 1) + 3(z – 2) = 0\) hay \(2x – y + 3z – 11 = 0.\)

Bài 7. Lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm \(A(1;0;1)\), \(B(5;2;3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta ):2x – y + z – 7 = 0.\)

Lời giải:

\((\beta )\) có một vectơ pháp tuyến: \({\vec n_1} = (2; – 1;1)\), \(\overrightarrow {AB} = (4;2;2).\)

Do mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm \(A\), \(B\) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\), nên mặt phẳng \((\alpha )\) nhận vectơ \(\vec n = {\vec n_1} \wedge \overrightarrow {AB} \) làm một vectơ pháp tuyến, mà \(\overrightarrow n = \overrightarrow {{n_1}} \wedge \overrightarrow {AB} \) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

{ – 1}&1\\

2&2

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

1&2\\

2&4

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

2&{ – 1}\\

4&2

\end{array}} \right|} \right)\) \( = ( – 4;0;8).\)

Suy ra \((\alpha )\) có phương trình: \( – 4(x – 1) + 0(y – 0) + 8(z – 1) = 0\) hay \(x – 2z + 1 = 0.\)

Bài 8. Xác định các giá trị của \(m\) và \(n\) để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:

a) \(2x + my + 3z – 5 = 0\) và \(nx – 8y – 6z + 2 = 0.\)

b) \(3x – 5y + mz – 3 = 0\) và \(2x + ny – 3z + 1 = 0.\)

Lời giải:

a) Ta có:

Mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):2x + my + 3z – 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = (2;m;3).\)

Mặt phẳng \(\left( {{\alpha _2}} \right):nx – 8y – 6z + 2 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = (n; – 8; – 6).\)

Để \(\left( {{\alpha _1}} \right)//\left( {{\alpha _2}} \right)\) thì \(\frac{2}{n} = \frac{m}{{ – 8}} = \frac{3}{{ – 6}} \ne \frac{{ – 5}}{2}\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{2}{n} = – \frac{1}{2}}\\

{\frac{m}{{ – 8}} = – \frac{1}{2}}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{n = – 4}\\

{m = 4}

\end{array}} \right..\)

Vậy với \(m = 4\), \(n = -4\) thì hai mặt phẳng \(2x + my + 3z – 5 = 0\) và \(nx – 8y – 6z + 2 = 0\) song song với nhau.

b) Để hai mặt phẳng \(\left( {{\beta _1}} \right):3x – 5y + mz – 3 = 0\) và \(\left( {{\beta _2}} \right):2x + ny – 3z + 1 = 0\) song song với nhau thì: \(\frac{3}{2} = \frac{{ – 5}}{n} = \frac{m}{{ – 3}} \ne \frac{{ – 3}}{1}\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{{ – 5}}{n} = \frac{3}{2}}\\

{\frac{m}{{ – 3}} = \frac{3}{2}}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{n = \frac{{ – 10}}{3}}\\

{m = \frac{{ – 9}}{2}}

\end{array}} \right..\)

Vậy với \(m = – \frac{9}{2}\), \(n = – \frac{{10}}{3}\) thì hai mặt phẳng \(\left( {{\beta _1}} \right)\) và \(\left( {{\beta _2}} \right)\) song song với nhau.

Bài 9. Tính khoảng cách từ điểm \(A(2; 4; -3)\) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) \(2x – y + 2z – 9 = 0.\)

b) \(12x – 5z + 5 = 0.\)

c) \(x = 0.\)

Lời giải:

a) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((\alpha ):2x – y + 2z – 9 = 0\) là:

\(d(A,(\alpha ))\) \( = \frac{{|2.2 – 4 + 2.( – 3) – 9|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2} + {2^2}} }}\) \( = \frac{{15}}{3} = 5\) (đvđd).

b) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((\beta ):12x – 5z + 5 = 0\) là:

\(d(A,(\beta ))\) \( = \frac{{|12.2 – 5.( – 3) + 5|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{( – 5)}^2}} }}\) \( = \frac{{44}}{{13}}\) (đvđd).

c) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((\gamma ):x = 0\) là:

\(d(A,(\gamma )) = \frac{{|2|}}{{\sqrt 1 }} = 2\) (đvđd).

Bài 10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) cạnh bằng \(1.\)

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((AB’D’)\) và \((BC’D)\) song song với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ: \(A \equiv O(0;0;0)\), \(D(0;1;0)\), \(B(1;0;0)\), \(A'(0;0;1).\)

Khi đó \(B’ = (1;0;1)\), \(D’ = (0;1;1)\), \(C’ = (1;1;1).\)

a) Phương trình mặt phẳng \((AB’D’).\)

Ta có \(\overrightarrow {AB’} = (1;0;1)\), \(\overrightarrow {AD’} = (0;1;1).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB’} \wedge \overrightarrow {AD’} \) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}

0&1\\

1&1

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}

1&1\\

1&0

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}

1&0\\

0&1

\end{array}} \right|} \right)\) \( = ( – 1; – 1;1).\)

Suy ra mặt phẳng \((AB’D’)\) nhận vectơ \({\vec n_1} = ( – 1; – 1;1)\) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy \((AB’D’)\) có phương trình \( – 1(x – 0) – 1(y – 0) + 1(z – 0) = 0\) hay \(x + y – z = 0.\)

Phương trình mặt phẳng \((BC’D).\)

Ta có \(\overrightarrow {BC’} = (0;1;1)\), \(\overrightarrow {BD} = ( – 1;1;0).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BC’} \wedge \overrightarrow {BD} \) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}

1&1\\

1&0

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

1&0\\

0&{ – 1}

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

0&1\\

{ – 1}&1

\end{array}} \right|} \right)\) \( = ( – 1; – 1;1).\)

Suy ra mặt phẳng \((BC’D)\) nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = ( – 1; – 1;1)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Suy ra \((BC’D)\) có phương trình:

\( – 1(x – 1) – 1(y – 0) + 1(z – 0) = 0\) hay \(x + y – z – 1 = 0.\)

Do \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{{ – 1}}{{ – 1}} \ne \frac{0}{{ – 1}}\) \( \Rightarrow \left( {AB’D’} \right)//\left( {BC’D} \right).\)

b) Khoảng cách \(h\) giữa hai mặt phẳng song song \((AB’D’)\) và \((BC’D)\) là khoảng cách từ điểm \(B\) đến \((AB’D’).\)

\( \Rightarrow h = d\left( {B,\left( {AB’D’} \right)} \right)\) \( = \frac{{|1.1 + 1.0 – 1.0|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( – 1)}^2}} }}\) \( = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)