giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: hàm số lũy thừa

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Hàm số lũy thừa.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 57. Trên hình 2.10 cho hai đường cong \(\left( {{C_1}} \right)\) (đường nét liền) và \(\left( {{C_2}} \right)\) (đường nét đứt) được vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Biết rằng mỗi đường cong ấy là đồ thị của một trong hai hàm số lũy thừa \(y = {x^{ – 2}}\) và \(y = {x^{ – \frac{1}{2}}}\) \((x /> 0).\) Chỉ dựa vào tính chất của lũy thừa, em có thể nhận biết đường cong nào là đồ thị của hàm số nào được không? Hãy nêu rõ lập luận của em.

Lời giải:

Nếu \(x /> 1\) thì \({x^{ – 2}} < {x^{ – \frac{1}{2}}}.\)

Nếu \(0 < x < 1\) thì \({x^{ – 2}} < {x^{ – \frac{1}{2}}}.\)

Vậy đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) là đồ thị của hàm số \(y = {x^{ – 2}}\), \(\left( {{C_2}} \right)\) là đồ thị của hàm số \(y = {x^{ – \frac{1}{2}}}.\)

Bài 58. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {(2x + 1)^\pi }.\)

b) \(y = \sqrt[5]{{{{\ln }^3}5x}}.\)

c) \(y = \sqrt[3]{{\frac{{1 + {x^3}}}{{1 – {x^3}}}}}.\)

d) \(y = {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a}.{\left( {\frac{a}{x}} \right)^b}\) với \(a /> 0\), \(b /> 0.\)

Lời giải:

a) \(y’ = \pi {(2x + 1)^{\pi – 1}}.(2x + 1)’\) \( = 2\pi {(2x + 1)^{\pi – 1}}.\)

b) \(y’ = \frac{{\left( {{{\ln }^3}5x} \right)’}}{{5\sqrt[5]{{{{\left( {{{\ln }^3}(5x)} \right)}^4}}}}}\) \( = \frac{{3{{\ln }^2}5x}}{{5x\sqrt[5]{{{{\ln }^{12}}5x}}}}\) \( = \frac{3}{{5x\sqrt[5]{{{{\ln }^2}5x}}}}.\)

c) Đặt \(u = \frac{{1 + {x^3}}}{{1 – {x^3}}}.\) Khi đó \(y’ = \frac{{u’}}{{3\sqrt[3]{{{u^2}}}}}\) và \(u’ = \frac{{6{x^2}}}{{{{\left( {1 – {x^3}} \right)}^2}}}.\)

Vậy \(y’ = \frac{{u’\sqrt[3]{u}}}{{3u}}\) \( = \frac{{2{x^2}}}{{1 – {x^6}}}\sqrt[3]{{\frac{{1 + {x^3}}}{{1 – {x^3}}}}}.\)

d) \(y’ = \left[ {{{\left( {\frac{x}{b}} \right)}^a}} \right]'{\left[ {\frac{a}{x}} \right]^b} + {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a}\left[ {{{\left( {\frac{a}{x}} \right)}^b}} \right]’\) \( = \frac{a}{b}{\left( {\frac{x}{b}} \right)^{a – 1}}{\left( {\frac{a}{x}} \right)^b} + {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a} + b{\left( {\frac{a}{x}} \right)^{b – 1}}\left( { – \frac{a}{{{x^2}}}} \right)\) \( = {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a}{\left( {\frac{a}{x}} \right)^b}\frac{{a – b}}{x}.\)

LUYỆN TẬP

Bài 59. Tính giá trị gần đúng đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm đã cho (chính xác đến hàng phần trăm).

a) \(y = {\log _3}(\sin x)\) tại \(x = \frac{\pi }{4}.\)

b) \(y = \frac{{{2^x}}}{{{x^2}}}\) tại \(x = 1.\)

Lời giải:

a) \(y’ = \frac{{(\sin x)’}}{{\sin x.\ln 3}}\) \( = \frac{{\cos x}}{{\sin x\ln 3}} = \frac{{\cot x}}{{\ln 3}}\) \( \Rightarrow y’\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\ln 3}} \approx 0,91.\)

b) \(y’ = \frac{{{2^x}\ln 2.{x^2} – {2^x}.2x}}{{{x^4}}}\) \( = \frac{{{2^x}(x\ln 2 – 2)}}{{{x^3}}}\) \( \Rightarrow y'(1) = \frac{{2(\ln 2 – 2)}}{1} \approx – 2,61.\)

Bài 60.

a) Chứng minh rằng đồ thị hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}\) đối xứng với nhau qua trục tung.

b) Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _{\frac{1}{a}}}x\) đối xứng với nhau qua trục hoành.

Lời giải:

a) Gọi \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) lần lượt là đồ thị của các hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}\), \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một điểm bất kỳ. Khi đó điểm đối xứng với \(M\) qua trục tung là \(M’\left( { – {x_0};{y_0}} \right).\)

Ta có: \(M \in \left( {{C_1}} \right)\) \( \Leftrightarrow {y_0} = {a^{{x_0}}}\) \( \Leftrightarrow {y_0} = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^{ – {x_0}}}\) \( \Leftrightarrow M’ \in \left( {{C_2}} \right).\)

Điều đó chứng tỏ \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) đối xứng với nhau qua trục tung.

b) Chứng minh tương tự bài a, chú ý điểm đối xứng với \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) qua trục hoành là điểm \(M’\left( {{x_0}; – {y_0}} \right).\)

\(M \in \left( {{C_1}} \right)\) \( \Leftrightarrow {y_0} = {\log _a}{x_0}\) \( \Leftrightarrow {y_0} = – {\log _{\frac{1}{a}}}{x_0}\) \( \Leftrightarrow – {y_0} = {\log _{\frac{1}{a}}}{x_0}\) \( \Leftrightarrow M’ \in \left( {{C_2}} \right).\)

Bài 61. Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {\log _{0,5}}x.\) Dựa vào đồ thị hãy giải các bất phương trình sau:

a) \({\log _{0,5}}x /> 0.\)

b) \( – 3 \le {\log _{0,5}}x < – 1.\)

Lời giải:

Đồ thị hàm số là hình vẽ bên.

a) \({\log _{0,5}}x /> 0\) (là những điểm nằm ở phía trên trục hoành).

\({\log _{0,5}}x /> 0\) \( \Leftrightarrow 0 < x < 1.\)

b) \( – 3 \le {\log _{0,5}}x < – 1\) (\(y = {\log _{0,5}}x\) là những điểm trên đồ thị có tung độ thuộc nửa khoảng \([ – 3;1)\)).

\( \Rightarrow – 3 \le {\log _{0,5}}x < – 1\) \( \Leftrightarrow 2 < x \le 8.\)

Bài 62. Vẽ đồ thị hàm số \(y = {(\sqrt 3 )^x}.\) Dựa vào đồ thị, hãy giải các bất phương trinh sau:

a) \({(\sqrt 3 )^x} \le 1.\)

b) \({(\sqrt 3 )^x} /> 3.\)

Lời giải:

Đồ thị hàm số \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) có hình vẽ bên.

a) \({(\sqrt 3 )^x} \le 1\) (Tung độ \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) không lớn hơn \(1\)).

\( \Rightarrow {(\sqrt 3 )^x} \le 1 \Leftrightarrow x \le 0.\)

b) \({(\sqrt 3 )^x} /> 3\) (Tung độ \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) lớn hơn \(3\)).