giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: số e và lôgarit tự nhiên

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Số e và lôgarit tự nhiên.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 42. Tìm sai lầm trong lập luận sau:

Ta có \(\ln {e^2} = 2\ln e\) \( = 2.1 = 2\) và \(\ln (2e) = \ln e + \ln e\) \( = 1 + 1 = 2.\)

Từ đó suy ra \({e^2} = 2e\), mà \(e \ne 0\) nên \(e = 2.\)

Lời giải:

Lập luận trên sai lầm chỗ \(\ln (2e) = \ln e + \ln e.\)

Lập luận đúng là: \(\ln (2e) = \ln 2 + \ln e.\)

Bài 43. Biểu diễn các số sau đây theo \(a = \ln 2\), \(b = \ln 5.\)

\(\ln 500\); \(\ln \frac{{16}}{{25}}\); \(\ln 6,25\); \(\ln \frac{1}{2} + \ln \frac{2}{3} + \ldots + \ln \frac{{98}}{{99}} + \ln \frac{{99}}{{100}}.\)

Lời giải:

\(\ln 500 = \ln 125.4\) \( = \ln {5^3} + \ln {2^2}\) \( = 3\ln 5 + 2\ln 2\) \( = 3b + 2a.\)

\(\ln \frac{{16}}{{25}} = \ln 16 – \ln 25\) \( = \ln {2^4} – \ln {5^2}\) \( = 4\ln 2 – 2\ln 5\) \( = 4a – 2b.\)

\(\ln 6,25 = \ln \frac{{625}}{{100}}\) \( = \ln 625 – \ln 100\) \( = \ln {5^4} – \ln 25.4\) \( = 4\ln 5 – 2\ln 5 – 2\ln 2.\)

\( = 2\ln 5 – 2\ln 2\) \( = 2b – 2a.\)

\(\ln \frac{1}{2}.\frac{2}{3} \ldots \frac{{98}}{{99}}.\frac{{99}}{{100}}\) \( = \ln \frac{1}{{100}} = – \ln 100\) \( = – \ln 25.4\) \( = – \left( {\ln {5^2} + \ln {2^2}} \right)\) \( = – 2b – 2a.\)

Bài 44. Chứng minh \(\frac{7}{{16}}\ln (3 + 2\sqrt 2 )\) \( – 4\ln (\sqrt 2 + 1)\) \( – \frac{{25}}{8}\ln (\sqrt 2 – 1) = 0.\)

Lời giải:

Ta biến đổi vế trái \( = \ln {(3 + 2\sqrt 2 )^{\frac{7}{{16}}}}\) \( – \ln {(\sqrt 2 + 1)^4}\) \( – \ln {(\sqrt 2 – 1)^{\frac{{25}}{8}}}.\)

\( = \ln {(3 + 2\sqrt 2 )^{\frac{7}{{16}}}}\) \( – \ln {(3 + 2\sqrt 2 )^2}\) \( – \ln {(\sqrt 2 – 1)^{\frac{{25}}{8}}}.\)

\( = \ln \frac{{{{(3 + 2\sqrt 2 )}^{\frac{7}{{16}}}}}}{{{{(3 + 2\sqrt 2 )}^2}}} – \ln {(\sqrt 2 – 1)^{\frac{{25}}{8}}}\) \( = \ln {(3 + 2\sqrt 2 )^{ – \frac{{25}}{{16}}}} – \ln {(\sqrt 2 – 1)^{\frac{{25}}{8}}}.\)

\( = \ln {(1 + \sqrt 2 )^{ – \frac{{25}}{8}}} – \ln {(\sqrt 2 – 1)^{\frac{{25}}{8}}}.\)

\( = \ln {(1 + \sqrt 2 )^{ – \frac{{25}}{8}}} – \ln {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}} \right)^{\frac{{25}}{8}}}\) \( = \ln {(1 + \sqrt 2 )^{ – \frac{{25}}{8}}} – \ln {(\sqrt 2 + 1)^{ – \frac{{25}}{8}}}\) \( = 0.\)

Bài 45. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn theo công thức \(S = A.{e^{rt}}\), trong đó \(A\) là số lượng vi khuẩn ban đầu, \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng \((r /> 0)\), \(t\) là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là \(100\) con và sau \(5\) giờ có \(300\) con. Hỏi sau \(10\) giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi.

Lời giải:

Sau \(5\) giờ: Từ công thức \(S = A.{e^{rt}}\) ta có \(300 = 100.{e^{r.5}}\) \( \Rightarrow 3 = {e^{r.5}}\) \( \Leftrightarrow 5r = \ln 3.\)

\( \Rightarrow r = \frac{{\ln 3}}{5}.\)

Sau \(10\) giờ số lượng vi khuẩn là \(S = A.{e^{rt}} = 100.{e^{\frac{{\ln 3}}{5}.10}}.\)

\( \Rightarrow S = 100.{e^{2\ln 3}}\) \( = 100.{\left( {{e^{\ln 3}}} \right)^2} = {100.3^2}\) \( = 100.9 = 900\) (con).

Để số lượng vi khuẩn tăng lên gấp đôi thì: \(t = \frac{{\ln \frac{S}{A}}}{r} = \frac{{\ln \frac{{200}}{{100}}}}{{\frac{{\ln 3}}{5}}} = 5\frac{{\ln 2}}{{\ln 3}}.\)

\( \Rightarrow t = \) \(3\) giờ \(9\) phút.

Bài 46. Cho biết chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ Plutanium \(P{u^{239}}\) là \(24360\) năm (tức là một lượng \(P{u^{239}}\) sau \(24360\) năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức \(S = A{e^{rt}}\), trong đó \(A\) là lượng chất phóng xạ ban đầu, \(r\) là tỉ lệ phân hủy hàng năm \((r < 0)\), \(t\) là thời gian phân hủy, \(S\) là lượng còn lại sau thời gian phân hủy \(t.\) Hỏi \(10\) gam \(P{u^{239}}\) sau bao nhiêu năm sẽ phân hủy còn \(1\) gam?

Lời giải:

Tính tỉ lệ phân hủy hàng năm:

Ta có \(\frac{1}{2}A = A.{e^{r.24360}}\) \( \Rightarrow \frac{1}{2} = {e^{r.24360}}\) \( \Rightarrow r = \frac{{\ln \frac{1}{2}}}{{24360}} = – \frac{{\ln 2}}{{24360}}.\)

Gọi \({t_0}\) là thời gian mà \(10\) gam \(P{u^{239}}\) phân hủy còn \(1\) gam ta có:

\(1 = 10.{e^{ – \frac{{\ln 2}}{{24360}}.{t_0}}}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{10}} = {e^{ – \frac{{\ln 2}}{{24360}}.{t_0}}}.\)

\( \Rightarrow – \ln 10 = – \frac{{\ln 2}}{{24360}}.{t_0}\) \( \Leftrightarrow {t_0} = 24360.\frac{{\ln 10}}{{\ln 2}} = 82235\) (năm).