Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1 trong chương 1 của sách Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 tập trung vào việc nghiên cứu tính đơn điệu và cực trị của hàm số, một trong những nội dung cốt lõi của việc khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế và chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia.

I. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số tăng lên khi biến số tăng lên. Ngược lại, một hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số giảm xuống khi biến số tăng lên. Để xác định tính đơn điệu của hàm số, chúng ta sử dụng đạo hàm của hàm số.

• Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a, b).
• Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a, b).

II. Khái niệm về cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất mà hàm số đạt được tại một điểm nào đó. Điểm mà hàm số đạt cực trị được gọi là điểm cực trị.

• Điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) > f(x) với mọi x thuộc (a, b).
• Điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) < f(x) với mọi x thuộc (a, b).

III. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Để một hàm số có cực trị tại một điểm x₀, điều kiện cần là đạo hàm của hàm số tại điểm đó phải bằng 0 hoặc không tồn tại, tức là f'(x₀) = 0 hoặc f'(x₀) không tồn tại.

IV. Quy tắc xét dấu đạo hàm để xác định tính đơn điệu và cực trị

Để xét dấu đạo hàm và xác định tính đơn điệu, cực trị của hàm số, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm f'(x).
2. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm tới hạn.
3. Lập bảng xét dấu f'(x) trên các khoảng xác định của hàm số.
4. Kết luận về tính đơn điệu và cực trị của hàm số dựa vào dấu của f'(x).

V. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

1. Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.
2. Giải phương trình f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
3. Lập bảng xét dấu f'(x):

x	-∞	0	2	+∞
f'(x)	+	-	+
f(x)	Đồng biến	Nghịch biến	Đồng biến

4. Kết luận: Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị f(2) = -2.

VI. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập trong sách giáo khoa và các bài tập bổ trợ liên quan đến chủ đề tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán khó.

Loigiai.com.vn hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!