Lý Thuyết Tính Đơn Điệu Và Cực Trị Hàm Số Toán 12 Kết Nối Tri Thức

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, phần Tính đơn điệu và cực trị của hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu sâu về hành vi của hàm số và ứng dụng trong giải quyết các bài toán thực tế.

Loigiai.com.vn cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, chi tiết, giúp học sinh nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải bài tập hiệu quả.

Chúng tôi tập trung vào việc trình bày lý thuyết một cách dễ hiểu, kết hợp với các ví dụ minh họa và bài tập thực hành đa dạng.

1. Tính đơn điệu của hàm số Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K

Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)

Ví dụ: Hàm số y = |x| đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

Định lý

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0
Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4

y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)
y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)

Sử dụng BBT xét tính đơn điệu của hàm số

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm \({x_i}\)(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập BBT của hàm số.
Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\)

1. Tập xác định của hàm số là \(R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

2. Ta có: \(y' = \frac{{(x + 1) - (x - 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0\forall x \ne - 1\)

3. BBT

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 1

4. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \) ) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\)
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\)

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2

Cách tìm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

Nếu f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Nếu f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30\).

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 3

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 4

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức đặc sắc thuộc chuyên mục giải sgk toán 12 trên nền tảng môn toán của chúng tôi! Với bộ toán trung học phổ thông bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, phần Tính đơn điệu và cực trị của hàm số là một trong những nội dung quan trọng, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và các khái niệm liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về lý thuyết này, giúp bạn hiểu rõ hơn về cách xác định tính đơn điệu và cực trị của hàm số.

I. Khái niệm về Tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≤ f(x2). Hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≥ f(x2).

Để xác định tính đơn điệu của hàm số, ta thường sử dụng đạo hàm f'(x). Cụ thể:

Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số đồng biến trên (a, b).
Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số nghịch biến trên (a, b).
Nếu f'(x) = 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số không đơn điệu trên (a, b).

II. Khái niệm về Cực trị của hàm số

Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x0) ≥ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.

Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x0) ≤ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.

Để tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x).
Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghiệm (x1, x2, ...).
Xét dấu của f'(x) trong các khoảng xác định bởi các điểm nghiệm.
Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x = x1 thì x1 là điểm cực đại.
Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại x = x1 thì x1 là điểm cực tiểu.

III. Ứng dụng của Tính đơn điệu và cực trị

Tính đơn điệu và cực trị của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.
Vẽ đồ thị hàm số.
Giải các bài toán tối ưu hóa.

IV. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Ta có f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2). Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 và x = 2.

Xét dấu của f'(x):

Khoảng	f'(x)	Tính đơn điệu của f(x)
(-∞, 0)	+	Đồng biến
(0, 2)	-	Nghịch biến
(2, +∞)	+	Đồng biến

Vậy hàm số f(x) đồng biến trên (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên (0, 2). Điểm x = 0 là điểm cực đại, với giá trị cực đại là f(0) = 2. Điểm x = 2 là điểm cực tiểu, với giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

V. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x^4 - 4x^2 + 3.
Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!