Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 1 trang 5,6,7 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Bài giải được trình bày rõ ràng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học Toán đôi khi gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, loigiai.com.vn luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp các em học sinh học tập tốt hơn.
Tính đơn điệu của hàm số
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 3\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định lí về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng K.
+ Nếu \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng K.
+ Nếu \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng K.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = - 2x + 2,y' > 0\) với \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\); \(y < 0\) với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\).
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Quan sát đồ thị của hàm số \(y = {x^2}\) (H.1.2)
a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và \(y = f\left( x \right)\) là hàm số xác định trên K.
+ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là đồng biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)
+ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là nghịch biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Từ đồ thị ta thấy:
+ Xét khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\): \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right),{x_1} < {x_2}\) thì \(x_1^2 < x_2^2\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
Suy ra, hàm số \(y = {x^2}\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
+ Xét khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\): \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right),{x_1} < {x_2}\) thì \(x_1^2 > x_2^2\)hay \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).
Suy ra, hàm số \(y = {x^2}\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\).
a) Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm các điểm x mà \(f'\left( x \right) = 0\).
b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
c) Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phương pháp giải:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\).
a) Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm các điểm x mà \(f'\left( x \right) = 0\).
b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
c) Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) \(f'\left( x \right) = \left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1} \right)' = 3{x^2} - 6x + 2\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}\\x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3},x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\) thì \(f'\left( x \right) = 0\)
b) Bảng biến thiên:
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}} \right)\) và \(\left( {\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{{3 - \sqrt 3 }}{3};\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 9 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). Hãy tìm vận tốc v(t).
b) Xét dấu của hàm v(t), từ đó suy ra câu trả lời.
Bài toán mở đầu:
Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức \(s\left( t \right) = {t^3} - 9{t^2} + 15t,t \ge 0\). Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về ý nghĩa cơ học của đạo hàm để tìm hàm vận tốc: Theo ý nghĩa cơ học, vận tốc v(t) là đạo hàm của hàm số s(t).
b) Chất điểm chuyển động theo chiều dương khi \(v\left( t \right) > 0\).
Chất điểm chuyển động theo chiều âm khi \(v\left( t \right) < 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \left( {{t^3} - 9{t^2} + 15t} \right)' = 3{t^2} - 18t + 15\)
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 18t + 15 > 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 5} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < 1\\t > 5\end{array} \right.\)
\(v\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 18t + 15 < 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 5} \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < t < 5\)
Chất điểm chuyển động theo chiều dương (sang bên phải) khi \(v\left( t \right) > 0\), tức là \(t \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Chất điểm chuyển động theo chiều âm (sang bên trái) khi \(v\left( t \right) < 0\), tức là \(1 < t < 5\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hình 1.5 là đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến:
+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Trong khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) đi lên từ trái sang phải nên hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Trong khoảng \(\left( {0;2} \right)\) thì đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) đi xuống từ trái sang phải nên hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\), \(\left( {1; + \infty } \right)\). Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng này.
b) Có nhận xét gì về đạo hàm y’ của hàm số y trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\)?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm nhận xét:
+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Lời giải chi tiết:
a) + Xét khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) ta có: \(y' = \left( { - x} \right)' = - 1 < 0\)
Trong khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) ta thấy hàm số y nghịch biến và đạo hàm \(y' < 0\).
+ Xét khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ta có: \(y' = x' = 1 > 0\)
Trong khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ta thấy hàm số y đồng biến và đạo hàm \(y' > 0\).
b) Trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) ta có: \(y' = \left( 1 \right)' = 0\)
Trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) ta thấy hàm số y không đổi và đạo hàm \(y' = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 9 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\);
b) \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu của hàm số để tìm khoảng đơn điệu của hàm số: Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số \(y = f\left( x \right)\):
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\). Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,...} \right)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
3. Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = {x^2} + 6x + 5,y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 5\end{array} \right.\)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 5; - 1} \right)\).
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có: \(y' = \frac{{\left( { - 2x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( { - {x^2} + 5x - 7} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\).
Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Quan sát đồ thị của hàm số \(y = {x^2}\) (H.1.2)
a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và \(y = f\left( x \right)\) là hàm số xác định trên K.
+ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là đồng biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)
+ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là nghịch biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Từ đồ thị ta thấy:
+ Xét khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\): \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right),{x_1} < {x_2}\) thì \(x_1^2 < x_2^2\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
Suy ra, hàm số \(y = {x^2}\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
+ Xét khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\): \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right),{x_1} < {x_2}\) thì \(x_1^2 > x_2^2\)hay \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).
Suy ra, hàm số \(y = {x^2}\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hình 1.5 là đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến:
+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Trong khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) đi lên từ trái sang phải nên hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Trong khoảng \(\left( {0;2} \right)\) thì đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) đi xuống từ trái sang phải nên hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\), \(\left( {1; + \infty } \right)\). Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng này.
b) Có nhận xét gì về đạo hàm y’ của hàm số y trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\)?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm nhận xét:
+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Lời giải chi tiết:
a) + Xét khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) ta có: \(y' = \left( { - x} \right)' = - 1 < 0\)
Trong khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) ta thấy hàm số y nghịch biến và đạo hàm \(y' < 0\).
+ Xét khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ta có: \(y' = x' = 1 > 0\)
Trong khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ta thấy hàm số y đồng biến và đạo hàm \(y' > 0\).
b) Trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) ta có: \(y' = \left( 1 \right)' = 0\)
Trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) ta thấy hàm số y không đổi và đạo hàm \(y' = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 3\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định lí về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng K.
+ Nếu \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng K.
+ Nếu \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng K.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = - 2x + 2,y' > 0\) với \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\); \(y < 0\) với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\).
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\).
a) Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm các điểm x mà \(f'\left( x \right) = 0\).
b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
c) Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phương pháp giải:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\).
a) Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm các điểm x mà \(f'\left( x \right) = 0\).
b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
c) Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) \(f'\left( x \right) = \left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1} \right)' = 3{x^2} - 6x + 2\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}\\x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3},x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\) thì \(f'\left( x \right) = 0\)
b) Bảng biến thiên:
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}} \right)\) và \(\left( {\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{{3 - \sqrt 3 }}{3};\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 9 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\);
b) \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu của hàm số để tìm khoảng đơn điệu của hàm số: Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số \(y = f\left( x \right)\):
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\). Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,...} \right)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
3. Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = {x^2} + 6x + 5,y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 5\end{array} \right.\)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 5; - 1} \right)\).
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có: \(y' = \frac{{\left( { - 2x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( { - {x^2} + 5x - 7} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\).
Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 9 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). Hãy tìm vận tốc v(t).
b) Xét dấu của hàm v(t), từ đó suy ra câu trả lời.
Bài toán mở đầu:
Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức \(s\left( t \right) = {t^3} - 9{t^2} + 15t,t \ge 0\). Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về ý nghĩa cơ học của đạo hàm để tìm hàm vận tốc: Theo ý nghĩa cơ học, vận tốc v(t) là đạo hàm của hàm số s(t).
b) Chất điểm chuyển động theo chiều dương khi \(v\left( t \right) > 0\).
Chất điểm chuyển động theo chiều âm khi \(v\left( t \right) < 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \left( {{t^3} - 9{t^2} + 15t} \right)' = 3{t^2} - 18t + 15\)
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 18t + 15 > 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 5} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < 1\\t > 5\end{array} \right.\)
\(v\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 18t + 15 < 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 5} \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < t < 5\)
Chất điểm chuyển động theo chiều dương (sang bên phải) khi \(v\left( t \right) > 0\), tức là \(t \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Chất điểm chuyển động theo chiều âm (sang bên trái) khi \(v\left( t \right) < 0\), tức là \(1 < t < 5\).
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập và mở rộng kiến thức về hàm số và đồ thị. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế, đồng thời rèn luyện kỹ năng tư duy logic và phân tích.
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về nội dung và phương pháp giải các bài tập trong mục 1 trang 5,6,7 SGK Toán 12 tập 1, loigiai.com.vn xin trình bày chi tiết lời giải của từng bài tập:
Bài 1 yêu cầu học sinh xác định tập xác định của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các điều kiện để hàm số có nghĩa, ví dụ như mẫu số khác 0, căn thức không âm, logarit có cơ số lớn hơn 0 và khác 1,...
Lời giải:
Bài 2 yêu cầu học sinh xét tính chẵn, lẻ của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần hiểu rõ định nghĩa của hàm số chẵn, hàm số lẻ và cách kiểm tra tính chẵn, lẻ của hàm số.
Lời giải:
Bài 3 yêu cầu học sinh vẽ đồ thị của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần xác định các yếu tố quan trọng của đồ thị như tập xác định, điểm đặc biệt (giao điểm với các trục tọa độ), tiệm cận, và các điểm cực trị.
Lời giải:
Để vẽ đồ thị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
Để giải các bài tập tương tự trong mục 1, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về hàm số và đồ thị, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách thành thạo. Dưới đây là một số phương pháp giải bài tập thường được sử dụng:
Để học tập hiệu quả môn Toán 12, học sinh nên:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, học sinh sẽ hiểu rõ hơn về nội dung và phương pháp giải các bài tập trong mục 1 trang 5,6,7 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
