Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian - Giải Toán 12 Cánh diều tập 1

Bài 1 trong chương 2 của sách Toán 12 Cánh diều tập 1 giới thiệu về vectơ trong không gian, một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích. Bài học này sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về vectơ, các phép toán trên vectơ và ứng dụng của chúng trong việc giải quyết các bài toán hình học.

1. Khái niệm vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, một vectơ được xác định bởi tọa độ của nó. Vectơ a được biểu diễn bởi a = (x; y; z), trong đó x, y, z là các số thực. Vectơ không là vectơ có tọa độ (0; 0; 0).

2. Các phép toán trên vectơ

• Phép cộng vectơ: Cho hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2), tổng của hai vectơ là a + b = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2).
• Phép trừ vectơ: Cho hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2), hiệu của hai vectơ là a - b = (x1 - x2; y1 - y2; z1 - z2).
• Phép nhân vectơ với một số thực: Cho vectơ a = (x; y; z) và số thực k, tích của vectơ a với k là ka = (kx; ky; kz).

3. Tính chất của các phép toán trên vectơ

Các phép toán trên vectơ thỏa mãn các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối và tính chất của phần tử đơn vị và phần tử nghịch đảo (đối với phép cộng).

4. Ví dụ minh họa

Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Hãy tính:

• a + b
• a - b
• 2a

Giải:

• a + b = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)
• a - b = (1 + 2; 2 - 1; 3 - 0) = (3; 1; 3)
• 2a = (2 * 1; 2 * 2; 2 * 3) = (2; 4; 6)

5. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức về vectơ và các phép toán trên vectơ, các em có thể tự giải các bài tập sau:

1. Cho a = (2; -1; 3) và b = (1; 0; -2). Tính 3a - 2b.
2. Tìm tọa độ của vectơ c sao cho a + b + c = 0, với a = (1; 2; 3) và b = (-1; 0; 1).

6. Kết luận

Bài 1 đã cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về vectơ trong không gian và các phép toán trên vectơ. Việc nắm vững những kiến thức này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán hình học trong không gian và là nền tảng cho các bài học tiếp theo trong chương trình Toán 12.