Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes - Giải Toán 12 Cánh Diều

Bài 2 trong chương 6 Toán 12 Cánh Diều tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này là nền tảng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp, đặc biệt trong các ứng dụng thực tế.

I. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác, đôi một loại trừ.

Phát biểu: Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố đôi một loại trừ và B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω (không gian mẫu), thì xác suất của biến cố A được tính theo công thức:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Ví dụ minh họa: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

• Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi”.
• Gọi B₁ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1”.
• Gọi B₂ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2”.

Ta có:

• P(B₁) = 0.6
• P(B₂) = 0.4
• P(A|B₁) = 0.02
• P(A|B₂) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 0.024.

II. Công thức Bayes

Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác.

Phát biểu: Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố đôi một loại trừ và B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω, thì xác suất có điều kiện P(B_i|A) được tính theo công thức:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / P(A)

Trong đó P(A) được tính theo công thức xác suất toàn phần.

Ví dụ minh họa: Tiếp tục ví dụ trên, nếu một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi, tính xác suất sản phẩm đó được sản xuất từ dây chuyền 1.

Giải:

Ta đã tính được P(A) = 0.024. Ta cần tính P(B₁|A).

Áp dụng công thức Bayes:

P(B₁|A) = [P(A|B₁)P(B₁)] / P(A) = (0.02 * 0.6) / 0.024 = 0.012 / 0.024 = 0.5

Vậy xác suất sản phẩm lỗi được sản xuất từ dây chuyền 1 là 0.5.

III. Bài tập vận dụng

Để hiểu rõ hơn về hai công thức này, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất cả hai quả bóng đều màu đỏ.
• Bài 2: Một cuộc khảo sát cho thấy 70% người dân ủng hộ chính sách A. Trong số những người ủng hộ chính sách A, 60% là nam giới. Trong số những người không ủng hộ chính sách A, 30% là nam giới. Tính xác suất một người được chọn ngẫu nhiên là nam giới và ủng hộ chính sách A.

IV. Kết luận

Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes là hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Việc nắm vững hai công thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả và chính xác.