Bài 26. Khoảng cách

Bài 26. Khoảng cách - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết

Bài 26 thuộc chương Quan hệ vuông góc trong không gian, tập trung vào việc tính toán khoảng cách giữa các đối tượng hình học trong không gian ba chiều. Việc nắm vững kiến thức về khoảng cách là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp hơn.

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Khoảng cách giữa hai điểm:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách d giữa hai điểm A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B) được tính theo công thức:

d = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²)

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Khoảng cách d từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 được tính theo công thức:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

Hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D₁ = 0 và (Q): Ax + By + Cz + D₂ = 0 song song với nhau. Khoảng cách d giữa hai mặt phẳng này được tính theo công thức:

d = |D₂ - D₁| / √(A² + B² + C²)

II. Ví dụ minh họa và bài tập áp dụng

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Tính khoảng cách AB.

Giải:

AB = √((4-1)² + (5-2)² + (6-3)²) = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

Bài tập 1: Tính khoảng cách từ điểm M(2, -1, 0) đến mặt phẳng (P): 3x - 4y + 12z - 5 = 0.

Giải:

d = |3(2) - 4(-1) + 12(0) - 5| / √(3² + (-4)² + 12²) = |6 + 4 - 5| / √(9 + 16 + 144) = 5 / √169 = 5/13

III. Các dạng bài tập thường gặp

• Tính khoảng cách giữa hai điểm cho trước.
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
• Xác định điều kiện để các điểm, mặt phẳng thỏa mãn một khoảng cách cho trước.

IV. Mở rộng và nâng cao

Trong không gian, việc tính toán khoảng cách đóng vai trò quan trọng trong việc xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học. Ngoài các công thức cơ bản đã học, các em có thể tìm hiểu thêm về các phương pháp tính khoảng cách trong các trường hợp đặc biệt, ví dụ như khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán về khoảng cách trong không gian một cách hiệu quả.

loigiai.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và các kiến thức bổ ích trên, các em sẽ học tốt môn Toán 11 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.