Bài 3. Đạo hàm cấp hai

Bài 3. Đạo hàm cấp hai - SGK Toán 11 - Cánh diều: Giải chi tiết và đầy đủ

Bài 3 trong chương VII của sách Toán 11 Cánh diều tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu đạo hàm cấp hai của hàm số. Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm cấp một. Nó cung cấp thông tin quan trọng về độ cong của đồ thị hàm số và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.

1. Khái niệm đạo hàm cấp hai

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) tại một điểm x, và f'(x) có đạo hàm tại x, thì đạo hàm của f'(x) tại x được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) tại x, ký hiệu là f''(x) hoặc y''.

Công thức tính đạo hàm cấp hai: f''(x) = (f'(x))'

2. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai cho ta biết tốc độ thay đổi của đạo hàm cấp một. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định tính chất của đồ thị hàm số:

• Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
• Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.
• Nếu f''(x) = 0 tại một điểm, điểm đó có thể là điểm uốn của đồ thị hàm số.

3. Quy tắc tính đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp một f'(x).
2. Tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).

Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản vẫn được áp dụng khi tính đạo hàm cấp hai, bao gồm:

• Đạo hàm của hằng số bằng 0.
• Đạo hàm của x^n bằng nx^(n-1).
• Đạo hàm của tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các đạo hàm.
• Đạo hàm của tích bằng đạo hàm của thừa số thứ nhất nhân với thừa số thứ hai cộng với thừa số thứ nhất nhân với đạo hàm của thừa số thứ hai.
• Đạo hàm của thương bằng đạo hàm của tử số nhân với mẫu số trừ đi tử số nhân với đạo hàm của mẫu số, tất cả chia cho bình phương của mẫu số.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^3 + 2x^2 - 5x + 1.

Giải:

Đạo hàm cấp một: y' = 3x^2 + 4x - 5

Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x + 4

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin(x).

Giải:

Đạo hàm cấp một: y' = cos(x)

Đạo hàm cấp hai: y'' = -sin(x)

5. Bài tập áp dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về đạo hàm cấp hai:

• Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = 4x^4 - 3x^2 + 7.
• Bài 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos(2x).
• Bài 3: Tìm khoảng mà đồ thị hàm số y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 lồi và lõm.

Hy vọng với lời giải chi tiết và đầy đủ này, các em sẽ hiểu rõ hơn về Bài 3. Đạo hàm cấp hai - SGK Toán 11 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!