Bài 3. Góc

Bài 3. Góc - SGK Toán 12: Giải pháp chi tiết và dễ hiểu

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải Bài 3. Góc - SGK Toán 12 tập 2, Chương 5. Phương pháp tọa độ trong không gian. loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, chính xác, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập.

Bài học này sẽ tập trung vào việc tìm hiểu về góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, cùng các công thức và phương pháp giải bài tập liên quan.

Bài 3. Góc - SGK Toán 12: Tổng quan và kiến thức trọng tâm

Bài 3 trong chương 5 SGK Toán 12 tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu về góc trong không gian, một khái niệm quan trọng trong hình học tọa độ không gian. Hiểu rõ về góc giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến vị trí tương đối giữa các đường thẳng và mặt phẳng.

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Để xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian, ta sử dụng vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. Góc θ giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là u và v được tính theo công thức:

cos θ = |u.v| / (||u|| . ||v||)

Trong đó:

u.v là tích vô hướng của hai vectơ u và v.
||u|| và ||v|| là độ dài của vectơ u và v.

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P). Để tính góc này, ta sử dụng vectơ chỉ phương u của đường thẳng d và vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (P). Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

sin φ = |u.n| / (||u|| . ||n||)

Trong đó:

u.n là tích vô hướng của vectơ u và n.
||u|| và ||n|| là độ dài của vectơ u và n.

3. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d₁: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và d₂: x = 2 - s, y = 1 + s, z = 4 - s. Tính góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂.

Giải:

Xác định vectơ chỉ phương của d₁: u = (1, -1, 2)
Xác định vectơ chỉ phương của d₂: v = (-1, 1, -1)
Tính tích vô hướng u.v = (1)(-1) + (-1)(1) + (2)(-1) = -4
Tính độ dài của u và v: ||u|| = √6, ||v|| = √3
Áp dụng công thức tính góc: cos θ = |-4| / (√6 . √3) = 4 / √18 = 2√2 / 3
Suy ra θ ≈ 19.47°

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x = t, y = 1 + t, z = 2 - t và mặt phẳng (P): x + y + z - 4 = 0. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Giải:

Xác định vectơ chỉ phương của d: u = (1, 1, -1)
Xác định vectơ pháp tuyến của (P): n = (1, 1, 1)
Tính tích vô hướng u.n = (1)(1) + (1)(1) + (-1)(1) = 1
Tính độ dài của u và n: ||u|| = √3, ||n|| = √3
Áp dụng công thức tính góc: sin φ = |1| / (√3 . √3) = 1/3
Suy ra φ ≈ 19.47°

4. Lưu ý quan trọng

Luôn kiểm tra kỹ vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến trước khi áp dụng công thức.
Chú ý đến dấu của tích vô hướng để xác định góc nhọn hay góc tù.
Sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán chính xác các giá trị.

Hy vọng với bài giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 3. Góc - SGK Toán 12 tập 2 và có thể tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tập tốt!