Bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Tính góc giữa các cặp mặt phẳng a) \(\alpha :3x + 4y + 5z - 1 = 0\) và \(\beta :2x + y + z - 3 = 0\) b) \(\alpha :x - y + 2z - 1 = 0\) và \(\beta :x + 2y - z + 3 = 0\) c) \(\alpha :x + 3y - 2z - 1 = 0\) và \(\beta :4x + 2y + 5z - 3 = 0\)
Đề bài
Tính góc giữa các cặp mặt phẳng
a) \(\alpha :3x + 4y + 5z - 1 = 0\) và \(\beta :2x + y + z - 3 = 0\)
b) \(\alpha :x - y + 2z - 1 = 0\) và \(\beta :x + 2y - z + 3 = 0\)
c) \(\alpha :x + 3y - 2z - 1 = 0\) và \(\beta :4x + 2y + 5z - 3 = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (A;B;C)\) và \(\vec n' = (A';B';C')\). Khi đó:
\(\cos \left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = \left| {\frac{{\vec n \cdot \vec n'}}{{\left| {\vec n} \right| \cdot \left| {\vec n'} \right|}}} \right| = \frac{{|AA' + BB' + CC'|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \cdot \sqrt {{{A'}^2} + {{B'}^2} + {{C'}^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a)
- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\overrightarrow {{n_1}} = (3;4;5)\)
- Vector pháp tuyến của \(\beta \): \(\overrightarrow {{n_2}} = (2;1;1)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 3 \times 2 + 4 \times 1 + 5 \times 1 = 15\)
\(|\overrightarrow {{n_1}} | = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} = \sqrt {50} ,\quad |\overrightarrow {{n_2}} | = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 6 \)
\(\cos \theta = \frac{{15}}{{\sqrt {50} \times \sqrt 6 }} = \frac{{15}}{{\sqrt {300} }} = \frac{{15}}{{10\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\quad \Rightarrow \quad \theta = {30^\circ }\)
b)
- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 1;2)\)
- Vector pháp tuyến của \(\beta \): \(\overrightarrow {{n_2}} = (1;2; - 1)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 1 \times 1 + ( - 1) \times 2 + 2 \times ( - 1) = - 3\)
\(|\overrightarrow {{n_1}} | = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} = \sqrt 6 ,\quad |\overrightarrow {{n_2}} | = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt 6 \)
\(\cos \theta = \frac{3}{{\sqrt 6 \times \sqrt 6 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta \approx 60^\circ \)
c)
- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;3; - 2)\)
- Vector pháp tuyến của \(\beta \): \(\overrightarrow {{n_2}} = (4;2;5)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 1 \times 4 + 3 \times 2 + ( - 2) \times 5 = 0\)
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0\) nên hai vectơ pháp tuyến vuông góc với nhau, hay hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình Giải tích, cụ thể là phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Phân tích đề bài:
Trước khi bắt tay vào giải bài tập, học sinh cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu của bài toán. Trong bài tập 5.27, yêu cầu thường là tìm các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số hoặc giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm.
Phương pháp giải:
Tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài toán, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Ví dụ minh họa:
Giả sử bài tập 5.27 yêu cầu tìm các điểm cực trị của hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Lưu ý khi giải bài tập:
Mở rộng kiến thức:
Ngoài bài tập 5.27, học sinh nên làm thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức và kỹ năng. Đồng thời, học sinh cũng nên tìm hiểu thêm về các ứng dụng khác của đạo hàm trong thực tế, chẳng hạn như trong kinh tế, vật lý, kỹ thuật.
Kết luận:
Giải bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm. Bằng cách áp dụng các phương pháp giải phù hợp và rèn luyện kỹ năng giải toán thường xuyên, học sinh có thể giải quyết bài tập này một cách hiệu quả và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Bảng tóm tắt các bước giải bài tập ứng dụng đạo hàm:
| Bước | Nội dung |
|---|---|
| 1 | Tính đạo hàm cấp một f'(x) |
| 2 | Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình f'(x) = 0 |
| 3 | Xác định loại cực trị (cực đại, cực tiểu) bằng cách xét dấu đạo hàm cấp hai hoặc đạo hàm cấp một |
| 4 | Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến dựa vào dấu của đạo hàm cấp một |
| 5 | Giải phương trình, bất phương trình (nếu có) |
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
