Bài 3. Hình bình hành

Bài 3. Hình bình hành - SGK Toán 8: Giải chi tiết và đầy đủ

I. Định nghĩa hình bình hành

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song. Tức là, nếu tứ giác ABCD có AB // CD và AD // BC thì ABCD là hình bình hành.

II. Tính chất của hình bình hành

• Tính chất 1: Trong một hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau.
• Tính chất 2: Trong một hình bình hành, các góc đối bằng nhau.
• Tính chất 3: Trong một hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Chứng minh Tính chất 1:

Xét hình bình hành ABCD. Ta có AB // CD và AD // BC.

Vì AB // CD nên góc A + góc D = 180 độ (hai góc trong cùng phía bù nhau).

Vì AD // BC nên góc A + góc B = 180 độ (hai góc trong cùng phía bù nhau).

Suy ra góc D = góc B. Tương tự, ta có góc A = góc C.

III. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành

• Dấu hiệu 1: Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
• Dấu hiệu 2: Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
• Dấu hiệu 3: Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
• Dấu hiệu 4: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

IV. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AB. Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng F là trung điểm của BC.

Giải:

Xét tam giác ADE và tam giác BFE, ta có:

• AE = BE (E là trung điểm của AB)
• Góc DAE = góc BFE (so le trong, AD // BC)
• Góc ADE = góc BFE (so le trong, AD // BC)

Do đó, tam giác ADE đồng dạng với tam giác BFE (g.c.g).

Suy ra DE = EF và BF = AE = BE.

Vậy F là trung điểm của BC.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của CD. Đường thẳng AM cắt BD tại I. Chứng minh rằng DI = IB.

Giải:

Xét tam giác ADM và tam giác BCM, ta có:

• DM = CM (M là trung điểm của CD)
• Góc ADM = góc BCM (so le trong, AD // BC)
• AD = BC (tính chất hình bình hành)

Do đó, tam giác ADM đồng dạng với tam giác BCM (c.g.c).

Suy ra góc DAM = góc CBM.

Xét tam giác DAI và tam giác CBI, ta có:

• Góc DAI = góc CBI (chứng minh trên)
• Góc ADI = góc CBI (so le trong, AD // BC)

Do đó, tam giác DAI đồng dạng với tam giác CBI (g.g).

Suy ra DI = IB.

V. Kết luận

Bài học về hình bình hành đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản về định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình bình hành. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài tập liên quan một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc các em học tốt!