Bài 6. Phép vị tự

Bài 6. Phép vị tự - Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức

Phép vị tự là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết nhiều bài toán liên quan đến sự tương đồng và đồng dạng của các hình. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, tính chất và ứng dụng của phép vị tự trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức.

1. Định nghĩa phép vị tự

Phép vị tự là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho M’ nằm trên tia OM và OM’ = k.OM, với k là một số thực dương gọi là tỉ số vị tự. O được gọi là tâm vị tự.

2. Tính chất của phép vị tự

• Bảo toàn khoảng cách: Nếu hai điểm M và N có khoảng cách MN = d thì hai điểm M’ và N’ có khoảng cách M’N’ = |k|d.
• Bảo toàn góc: Phép vị tự bảo toàn góc giữa hai đường thẳng.
• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song: Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó.
• Biến tam giác thành tam giác đồng dạng: Phép vị tự biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó.

3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép vị tự tâm O(0,0) tỉ số k biến điểm M(x, y) thành điểm M’(x’, y’) thì:

• x’ = kx
• y’ = ky

Nếu tâm vị tự là điểm I(a, b) thì:

• x’ = a + k(x - a)
• y’ = b + k(y - b)

4. Ứng dụng của phép vị tự

Phép vị tự có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các bài toán hình học:

• Xây dựng hình đồng dạng: Phép vị tự được sử dụng để tạo ra các hình đồng dạng từ một hình cho trước.
• Giải quyết các bài toán liên quan đến tỉ lệ: Phép vị tự giúp giải quyết các bài toán liên quan đến tỉ lệ giữa các đoạn thẳng, các góc và các hình.
• Chứng minh sự đồng dạng của các hình: Phép vị tự là một công cụ quan trọng để chứng minh sự đồng dạng của các hình.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(1, 2), B(3, 4), C(5, 1). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = 2.

Giải:

• A’(2 * 1, 2 * 2) = A’(2, 4)
• B’(2 * 3, 2 * 4) = B’(6, 8)
• C’(2 * 5, 2 * 1) = C’(10, 2)

Ví dụ 2: Cho điểm M(2, -1) và phép vị tự tâm I(1, 3) tỉ số k = -1. Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép vị tự.

Giải:

• x’ = 1 + (-1)(2 - 1) = 0
• y’ = 3 + (-1)(-1 - 3) = 7

Vậy M’(0, 7).

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép vị tự, các em nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Loigiai.com.vn cung cấp đầy đủ các bài tập từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo lời giải chi tiết để các em tham khảo.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 6. Phép vị tự - Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!