Bài 6. Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 6. Tích vô hướng của hai vectơ - SBT Toán 10 - Cánh diều: Giải chi tiết

Bài 6 trong sách bài tập Toán 10 Cánh diều tập trung vào việc vận dụng kiến thức về tích vô hướng để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học và vectơ. Dưới đây là giải chi tiết từng phần của bài tập, giúp học sinh hiểu rõ phương pháp và cách tiếp cận.

I. Khái niệm cơ bản về tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a.b, là một số thực được tính bằng công thức:

a.b = |a||b|cos(θ)

Trong đó:

• |a| và |b| là độ dài của vectơ a và b.
• θ là góc giữa hai vectơ a và b.

II. Tính chất của tích vô hướng

• a.b = b.a (Tính giao hoán)
• a.(b + c) = a.b + a.c (Tính phân phối đối với phép cộng vectơ)
• (ka).b = k(a.b) (Tính chất đối với phép nhân với một số thực)
• Nếu a vuông góc với b thì a.b = 0

III. Ứng dụng của tích vô hướng

Tích vô hướng có nhiều ứng dụng trong hình học, đặc biệt là trong việc:

• Tính góc giữa hai vectơ.
• Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ.
• Tính diện tích của hình bình hành và tam giác.
• Tìm hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác.

IV. Giải bài tập cụ thể (Ví dụ minh họa)

Bài tập 1: Cho hai vectơ a = (2; 3) và b = (-1; 4). Tính tích vô hướng a.b.

Giải:

a.b = (2)(-1) + (3)(4) = -2 + 12 = 10

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 4), C(5; 1). Tính góc BAC.

Giải:

Ta có: AB = (3-1; 4-2) = (2; 2)

AC = (5-1; 1-2) = (4; -1)

AB.AC = (2)(4) + (2)(-1) = 8 - 2 = 6

|AB| = √(2² + 2²) = √8 = 2√2

|AC| = √(4² + (-1)²) = √17

cos(BAC) = (AB.AC) / (|AB||AC|) = 6 / (2√2 * √17) = 3 / (√34)

BAC = arccos(3/√34) ≈ 68.2°

V. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức về tích vô hướng, các em có thể tự giải thêm các bài tập sau:

1. Tính tích vô hướng của hai vectơ khi biết độ dài và góc giữa chúng.
2. Chứng minh hai vectơ vuông góc.
3. Tính diện tích của tam giác khi biết tọa độ ba đỉnh.

VI. Kết luận

Bài 6. Tích vô hướng của hai vectơ là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 10. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập về tích vô hướng sẽ giúp các em học tốt môn Toán và có nền tảng vững chắc cho các bài học tiếp theo.