Bài 7. Phép đồng dạng

Phép đồng dạng là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự tương đồng giữa các hình. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, tính chất và ứng dụng của phép đồng dạng trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo.

1. Định nghĩa phép đồng dạng

Một phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng nếu nó bảo toàn tỷ lệ khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Nói cách khác, nếu M' = f(M) và N' = f(N) thì M'N' / MN = k, với k là một hằng số dương gọi là tỷ số đồng dạng.

2. Tính chất của phép đồng dạng

• Bảo toàn ba điểm không thẳng hàng: Phép đồng dạng biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.
• Bảo toàn đường thẳng: Phép đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thẳng.
• Bảo toàn góc: Phép đồng dạng bảo toàn số đo góc.
• Bảo toàn tính chất lồi/lõm: Phép đồng dạng bảo toàn tính chất lồi hoặc lõm của một hình.

3. Phân loại phép đồng dạng

Có hai loại phép đồng dạng chính:

1. Phép vị tự: Là phép đồng dạng xác định bởi một điểm gọi là tâm vị tự O và một tỷ số k.
2. Phép đồng dạng có tâm: Là phép đồng dạng có thể được phân tích thành một phép vị tự và một phép đối xứng tâm.

4. Biểu thức của phép đồng dạng

Giả sử phép đồng dạng có tâm O và tỷ số k. Khi đó, với mọi điểm M, ta có:

M' = O + k(M - O)

5. Ứng dụng của phép đồng dạng

Phép đồng dạng có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác của toán học:

• Vẽ bản đồ: Phép đồng dạng được sử dụng để thu nhỏ hoặc phóng to bản đồ.
• Thiết kế kỹ thuật: Phép đồng dạng được sử dụng để tạo ra các mô hình thu nhỏ của các công trình.
• Nghiên cứu hình học: Phép đồng dạng là công cụ quan trọng để chứng minh sự tương đồng giữa các hình.

6. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' đồng dạng với nhau theo tỷ số k = 2. Biết AB = 3cm, BC = 4cm, CA = 5cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'.

Lời giải:

Vì tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC theo tỷ số k = 2, ta có:

• A'B' = k * AB = 2 * 3cm = 6cm
• B'C' = k * BC = 2 * 4cm = 8cm
• C'A' = k * CA = 2 * 5cm = 10cm

Bài tập 2: Cho điểm A(1; 2) và phép vị tự tâm O(0; 0) tỷ số k = -3. Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép vị tự.

Lời giải:

A' = O + k(A - O) = (0; 0) + (-3)((1; 2) - (0; 0)) = (0; 0) + (-3)(1; 2) = (0; 0) + (-3; -6) = (-3; -6)

7. Kết luận

Bài học về phép đồng dạng đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về một phép biến hình đặc biệt trong hình học. Việc nắm vững lý thuyết và áp dụng các tính chất của phép đồng dạng sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác hơn. Chúc các em học tập tốt!