Loigiai.com.vn - Giải Sbt Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo Tập 1: Chương 3

Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhó - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chương 3 trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Tập 1 tập trung vào việc nghiên cứu các số đặc trưng dùng để đo lường mức độ phân tán của một mẫu số liệu. Việc hiểu rõ các số đặc trưng này là vô cùng quan trọng trong việc phân tích và so sánh các tập dữ liệu khác nhau.

1. Các khái niệm cơ bản về mức độ phân tán

Mức độ phân tán của một mẫu số liệu cho biết các giá trị trong mẫu đó trải rộng như thế nào xung quanh giá trị trung bình. Một mẫu số liệu có mức độ phân tán lớn cho thấy các giá trị trong mẫu đó khác biệt nhiều so với nhau, trong khi một mẫu số liệu có mức độ phân tán nhỏ cho thấy các giá trị trong mẫu đó gần nhau hơn.

2. Khoảng biến thiên

Khoảng biến thiên (range) là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một mẫu số liệu. Nó là một số đặc trưng đơn giản nhất để đo lường mức độ phân tán, nhưng lại rất nhạy cảm với các giá trị ngoại lệ.

Công thức tính khoảng biến thiên:

R = X_max - X_min

Trong đó:

R là khoảng biến thiên
X_max là giá trị lớn nhất trong mẫu
X_min là giá trị nhỏ nhất trong mẫu

3. Phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai (variance) là trung bình cộng của các bình phương độ lệch của mỗi giá trị trong mẫu so với giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn (standard deviation) là căn bậc hai của phương sai.

Công thức tính phương sai:

S² = ∑(x_i - x̄)² / (n - 1)

Công thức tính độ lệch chuẩn:

S = √S²

Trong đó:

S² là phương sai
S là độ lệch chuẩn
x_i là giá trị thứ i trong mẫu
x̄ là giá trị trung bình của mẫu
n là số lượng giá trị trong mẫu

Phương sai và độ lệch chuẩn là các số đặc trưng quan trọng hơn khoảng biến thiên vì chúng không bị ảnh hưởng nhiều bởi các giá trị ngoại lệ.

4. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhó

Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhó, chúng ta không thể tính toán trực tiếp các số đặc trưng phân tán như khoảng biến thiên, phương sai và độ lệch chuẩn. Thay vào đó, chúng ta sử dụng các công thức ước lượng.

Công thức ước lượng phương sai cho mẫu số liệu ghép nhó:

S² ≈ ∑f_i(x_i - x̄)² / (n - 1)

Công thức ước lượng độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhó:

S ≈ √S²

Trong đó:

f_i là tần số của khoảng ghép nhóm thứ i
x_i là trung điểm của khoảng ghép nhóm thứ i
x̄ là giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhó
n là tổng số lượng giá trị trong mẫu

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Tính khoảng biến thiên, phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu sau: 2, 4, 6, 8, 10.

Giải:

Khoảng biến thiên: R = 10 - 2 = 8
Giá trị trung bình: x̄ = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6
Phương sai: S² = [(2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (8-6)² + (10-6)²] / (5-1) = 8
Độ lệch chuẩn: S = √8 ≈ 2.83

Bài tập 2: Cho bảng tần số sau:

Khoảng ghép nhóm	Tần số (f_i)
[0, 5)	5
[5, 10)	8
[10, 15)	7

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhó này.

Giải:

Trung điểm của khoảng [0, 5) là 2.5
Trung điểm của khoảng [5, 10) là 7.5
Trung điểm của khoảng [10, 15) là 12.5
Giá trị trung bình: x̄ = (5*2.5 + 8*7.5 + 7*12.5) / (5+8+7) = 8.57
Phương sai: S² ≈ [5*(2.5-8.57)² + 8*(7.5-8.57)² + 7*(12.5-8.57)²] / (20-1) ≈ 24.89
Độ lệch chuẩn: S ≈ √24.89 ≈ 4.99

6. Kết luận

Chương 3 đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về các số đặc trưng đo mức độ phân tán của một mẫu số liệu. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp các em phân tích và hiểu rõ hơn về dữ liệu trong nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống.