giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: lôgarit

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Lôgarit.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 23. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

a) Cơ số của lôgarit là một số thực bất kỳ.

b) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên.

c) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên dương.

d) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên dương khác \(1.\)

Lời giải:

Câu d. Vì theo định nghĩa của lôgarit.

Bài 24. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Có lôgarit của một số thực bất kỳ.

b) Chỉ có lôgarit của một số thực dương.

c) Chỉ có lôgarit của một số thực dương khác \(1.\)

d) Chỉ có lôgarit của một số thực lớn hơn \(1.\)

Lời giải:

a) Sai.

b) Đúng.

c) Sai.

d) Sai.

Bài 25. Điền thêm vế còn lại của đẳng thức và bổ sung điều kiện để có đẳng thức đúng:

a) \({\log _a}(xy) = \ldots .\)

b) \( \ldots = {\log _a}x – {\log _a}y.\)

c) \({\log _a}{x^\alpha } = \ldots .\)

d) \({a^{{{\log }_a}b}} = \ldots .\)

Lời giải:

a) \({\log _a}(xy) = {\log _a}x + {\log _a}y\) \((a /> 0;a \ne 1;x,y /> 0).\)

b) \({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x – {\log _a}y\) \((a /> 0;a \ne 1;x,y /> 0).\)

c) \({\log _a}{x^\alpha } = \alpha {\log _a}x\) \((a /> 0;a \ne 1;x /> 0;\alpha \in R).\)

d) \({a^{{{\log }_a}b}} = b\) \((a /> 0;a \ne 1;b /> 0).\)

Bài 26. Trong mỗi mệnh đề sau, hãy tìm điều kiện của \(a\) để có mệnh đề đúng:

a) \({\log _a}x < {\log _a}y\) \( \Leftrightarrow 0 < x < y.\)

b) \({\log _a}x < {\log _a}y\) \( \Leftrightarrow x /> y /> 0.\)

Lời giải:

a) \(a /> 1.\)

b) \(0 <a<1.\)

Bài 27. Hãy tìm lôgarit của mỗi số sau theo cơ số \(3:\)

\(81\); \(1\); \(\frac{1}{9}\); \(\sqrt[3]{3}\); \(\frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}.\)

Lời giải:

\({\log _3}3 = 1.\)

\({\log _3}81 = {\log _3}{3^4} = 4{\log _3}3 = 4.\)

\({\log _3}1 = 0.\)

\({\log _3}\frac{1}{9} = {\log _3}{3^{ – 2}} = – 2.\)

\({\log _3}\sqrt[3]{3} = {\log _3}{3^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}.\)

\({\log _3}\frac{1}{{\sqrt[3]{3}}} = {\log _3}{3^{ – \frac{1}{3}}} = – \frac{1}{3}.\)

Bài 28. Tính: \({\log _{\frac{1}{5}}}125\); \({\log _{0,5}}\frac{1}{2}\); \({\log _{\frac{1}{4}}}\frac{1}{{64}}\); \({\log _{\frac{1}{6}}}36.\)

Lời giải:

\({\log _{\frac{1}{5}}}125 = {\log _{\frac{1}{5}}}{5^3} = {\log _{{5^{ – 1}}}}{5^3}\) \( = 3( – 1){\log _5}5 = – 3.\)

\({\log _{0,5}}\frac{1}{2} = {\log _{0,5}}0,5 = 1.\)

\({\log _{\frac{1}{4}}}\frac{1}{{64}} = {\log _{\frac{1}{4}}}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} = 3.\)

\({\log _{\frac{1}{6}}}36 = {\log _{6 – 1}}{6^2}\) \( = 2.( – 1) = – 2.\)

Bài 29. Tính \({3^{{{\log }_3}18}}\); \({3^{5{{\log }_3}2}}\); \({\left( {\frac{1}{8}} \right)^{{{\log }_2}5}}\); \({\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}.\)

Lời giải:

\({3^{{{\log }_3}18}} = 18.\)

\({3^{5{{\log }_3}2}} = {3^{{{\log }_3}{2^5}}}\) \( = {2^5} = 32.\)

\({\left( {\frac{1}{8}} \right)^{{{\log }_2}5}} = {\left( {{2^{ – 3}}} \right)^{{{\log }_2}5}}\) \( = {2^{ – 3{{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_2}{5^{ – 3}}}}\) \( = {5^{ – 3}} = \frac{1}{{125}}.\)

\({\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}} = {\left( {{2^{ – 5}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}\) \( = {2^{ – 5{{\log }_{{2^{ – 1}}}}2}} = {2^{{{\log }_2}{2^5}}}\) \( = {2^5} = 32.\)

Bài 30. Tìm \(x\), biết:

a) \({\log _5}x = 4.\)

b) \({\log _2}(5 – x) = 3.\)

c) \({\log _3}(x + 2) = 3.\)

d) \({\log _{\frac{1}{6}}}(0,5 + x) = – 1.\)

Lời giải:

a) \({\log _5}x = 4 \Leftrightarrow x = {5^4}.\)

b) \({\log _2}(5 – x) = 3\) \( \Leftrightarrow 5 – x = {2^3}\) \( \Leftrightarrow x = 5 – {2^3} = – 3.\)

c) \({\log _3}(x + 2) = 3\) \( \Leftrightarrow x + 2 = {3^3}\) \( \Leftrightarrow x = {3^3} – 2 = 7.\)

d) \({\log _{\frac{1}{6}}}(0,5 + x) = – 1\) \( \Leftrightarrow 0,5 + x = {\left( {\frac{1}{6}} \right)^{ – 1}}\) \( \Leftrightarrow x = 6 – 0,5 = \frac{{11}}{2}.\)

Bài 31. Biểu thị lôgarit sau đây theo lôgarit thập phân (rồi cho kết quả bằng máy tính, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

\({\log _7}25\); \({\log _5}8\); \({\log _9}0,75\); \({\log _{0,75}}1,13.\)

Lời giải:

\({\log _7}25 = \frac{{\log 25}}{{\log 7}} = 1,65.\)

\({\log _9}0,75 = \frac{{\lg 0,75}}{{\lg 9}} = – 0,13.\)

\({\log _5}8 = \frac{{\log 8}}{{\log 5}} = 1,29.\)

\({\log _{0,75}}1,13 = \frac{{\log 1,13}}{{\log 0,75}} = – 0,43.\)

LUYỆN TẬP

Bài 32. Hãy tính:

a) \({\log _8}12 – {\log _8}15 + {\log _8}20.\)

b) \(\frac{1}{2}{\log _7}36 – {\log _7}14 – 3{\log _7}\sqrt[3]{{21}}.\)

c) \(\frac{{{{\log }_5}36 – {{\log }_5}12}}{{{{\log }_5}9}}.\)

d) \({36^{{{\log }_6}5}} + {10^{1 – \log 2}} – {8^{{{\log }_2}3}}.\)

Lời giải:

a) \({\log _8}\frac{{12}}{{15}} + {\log _8}20\) \( = {\log _8}\frac{{12}}{{15}}.20 = {\log _8}16\) \( = {\log _{{2^3}}}{2^4} = \frac{4}{3}.\)

b) \({\log _7}{36^{\frac{1}{2}}} – {\log _7}14 – {\log _7}{(\sqrt[3]{{21}})^3}\) \( = {\log _7}\frac{6}{{14}} – {\log _7}21\) \( = {\log _7}\frac{6}{{14.21}}\) \( = {\log _7}\frac{1}{{49}} = – 2.\)

c) \(\frac{{{{\log }_5}\frac{{36}}{{12}}}}{{{{\log }_5}9}} = \frac{{{{\log }_5}3}}{{{{\log }_5}9}}\) \( = {\log _9}3 = {\log _{{3^2}}}3 = \frac{1}{2}.\)

d) \({6^{2{{\log }_6}5}} + {10^{\log 10 – \log 2}} – {2^{3{{\log }_2}3}}\) \( = {5^2} + {10^{\log 5}} – {3^3}\) \( = 25 + 5 – 27 = 3.\)

Bài 33. Hãy so sánh:

a) \({\log _3}4\) và \({\log _4}\frac{1}{3}.\)

b) \({3^{{{\log }_6}1,1}}\) và \({7^{{{\log }_6}0,99}}.\)

Lời giải:

a) Ta có:

\({\log _3}4 /> {\log _3}3 = 1.\)

\({\log _4}\frac{1}{3} < {\log _4}4 = 1.\)

Vậy \({\log _3}4 /> {\log _4}\frac{1}{3}.\)

b) Ta có:

\({\log _6}1,1 /> {\log _6}1 = 0\) \( \Leftrightarrow {3^{{{\log }_6}1,1}} /> {3^0} = 1.\)

\({\log _6}0,99 < {\log _6}1 = 0\) \( \Leftrightarrow {7^{{{\log }_6}0,99}} < {7^0} = 1.\)

Vậy \({3^{{{\log }_6}1,1}} /> {7^{{{\log }_6}0,99}}.\)

Bài 34. Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh:

a) \(\log 2 + \log 3\) với \(\log 5.\)

b) \(\log 12 – \log 5\) với \(\log 7.\)

c) \(3\log 2 + \log 3\) với \(2\log 5.\)

d) \(1 + 2\log 3\) với \(\log 27.\)

Lời giải:

a) Ta có \(\log 2 + \log 3 = \log 6 /> \log 5.\)

b) \(\log 12 – \log 5 = \log \frac{{12}}{5} < \log 7.\)

c) \(3\log 2 + \log 3\) \( = \log {2^3} + \log 3\) \( = \log 8.3 = \log 24\) \( < \log {5^2} = 2\log 5.\)

d) \(1 + 2\log 3\) \( = \log 10 + \log {3^2}\) \( = \log (10.9) = \log 90\) \( /> \log 27.\)

Bài 35. Trong mỗi trường hợp sau, hãy tính \({\log _a}x\), biết \({\log _a}b = 3\), \({\log _a}c = – 2.\)

a) \(x = {a^3}{b^2}\sqrt c .\)

b) \(x = \frac{{{a^4}\sqrt[3]{b}}}{{{c^3}}}.\)

Lời giải:

a) \({\log _a}x\) \( = {\log _a}\left( {{a^3}{b^2}\sqrt c } \right){\log _a}{a^3}\) \( + {\log _a}{b^2} + {\log _a}\sqrt c .\)

\( = 3{\log _a}a + 2{\log _a}b + \frac{1}{2}{\log _a}c\) \( = 3 + 2.3 + \frac{1}{2}.( – 2) = 8.\)

b) \({\log _a}x = {\log _a}\left( {\frac{{{a^4}\sqrt[3]{b}}}{{{c^3}}}} \right)\) \( = {\log _a}\left( {{a^4}\sqrt[3]{b}} \right) – {\log _a}{c^3}.\)

\( = {\log _a}{a^4} + {\log _a}\sqrt[3]{b} – {\log _a}{c^3}\) \( = 4{\log _a}a + \frac{1}{3}{\log _a}b – 3{\log _a}c.\)

\( = 4 + \frac{1}{3}.3 – 3.( – 2) = 11.\)

Bài 36. Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm \(x.\)

a) \({\log _3}x = 4{\log _3}a + 7{\log _3}b.\)

b) \({\log _5}x = 2{\log _5}a – 3{\log _5}b.\)

Lời giải:

a) \({\log _3}x = {\log _3}{a^4} + {\log _3}{b^7}\) \( \Leftrightarrow {\log _3}x = {\log _3}{a^4}{b^7}\) \( \Leftrightarrow x = {a^4}{b^7}.\)

b) \({\log _5}x = {\log _5}{a^2} – {\log _5}{b^3}\) \( \Leftrightarrow {\log _5}x = {\log _5}\frac{{{a^2}}}{{{b^3}}}\) \( \Leftrightarrow x = \frac{{{a^2}}}{{{b^3}}}.\)

Bài 37. Hãy biểu diễn lôgarit sau qua \(\alpha \) và \(\beta .\)

a) \({\log _{\sqrt 3 }}50\) nếu \({\log _3}15 = \alpha \), \({\log _3}10 = \beta .\)

b) \({\log _4}1250\) nếu \({\log _2}5 = \alpha .\)

Lời giải:

a) Từ \({\log _3}15 = \alpha \) \( \Leftrightarrow {\log _3}(3.5) = \alpha \) \( \Leftrightarrow 1 + {\log _3}5 = \alpha \) \( \Leftrightarrow {\log _3}5 = \alpha – 1.\)

\({\log _{\sqrt 3 }}50 = 3{\log _3}50\) \( = 3\left( {{{\log }_3}5 + {{\log }_3}10} \right)\) \( = 3(\alpha – 1 + \beta ).\)

b) Ta có:

\({\log _4}1250 = \frac{1}{2}{\log _2}{5^3}.10\) \( = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}{5^3} + {{\log }_2}2 + {{\log }_2}5} \right)\) \( = \frac{1}{2}\left( {3{{\log }_2}5 + 1 + {{\log }_2}5} \right).\)

\( = \frac{1}{2}\left( {4{{\log }_2}5 + 1} \right)\) \( = \frac{1}{2}(4\alpha + 1).\)

Bài 38. Đơn giản biểu thức:

a) \(\log \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\log 4 + 4\log \sqrt 2 .\)

b) \(\log \frac{4}{9} + \frac{1}{2}\log 36 + \frac{3}{2}\log \frac{9}{2}.\)

c) \(\log 72 – 2\log \frac{{27}}{{256}} + \log \sqrt {108} .\)

d) \(\log \frac{1}{8} – \log 0,375 + \frac{3}{2}\log \frac{9}{2}.\)

Lời giải:

a) \(\log \frac{1}{8} + \log 2 + \log 4\) \( = \log \frac{1}{8}.2.4 = \log 1 = 0.\)

b) \(\log \frac{4}{9} + \log 6 + \log \frac{9}{2}\sqrt {\frac{9}{2}} \) \( = \log \frac{4}{9}.6.\frac{9}{2}.\sqrt {\frac{9}{2}} \) \( = \log 2.6.\frac{3}{{\sqrt 2 }}\) \( = \log 18\sqrt 2 .\)

c) \(\log 72 – 2\log \frac{{27}}{{256}} + \log \sqrt {108} \) \( = \log {2^3}{.3^2} – 2\log \frac{{{3^3}}}{{{2^8}}} + \log {\left( {{2^2}{{.3}^3}} \right)^{\frac{1}{2}}}.\)

\( = 3\log 2 + 2\log 3\) \( – 2(3\log 3 – 8\log 2)\) \( + \log 2 + \frac{3}{2}\log 3\) \( = 20\log 2 – \frac{5}{2}\log 3.\)

d) \(\log \frac{1}{8} – \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625} \) \( = \log \frac{1}{8} – \log \frac{3}{8} + \log 0,5625.\)

\( = \log \frac{1}{8} – \log \frac{3}{8} + \log \frac{9}{{16}}\) \( = \log \frac{1}{8}.\frac{8}{3}.\frac{9}{{16}} = \log \frac{3}{{16}}.\)

Bài 39. Tìm \(x\), biết:

a) \({\log _x}27 = 3.\)

b) \({\log _x}\frac{1}{7} = – 1.\)

c) \({\log _x}\sqrt 5 = – 4.\)

Lời giải:

a) \({\log _x}27 = 3\) \( \Leftrightarrow 27 = {x^3}\) \( \Leftrightarrow {3^3} = {x^3}\) \( \Leftrightarrow x = 3.\)

b) \({\log _x}\frac{1}{7} = – 1\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{7} = {x^{ – 1}}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{7} = \frac{1}{x}\) \( \Rightarrow x = 7.\)

c) \({\log _x}\sqrt 5 = – 4\) \( \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_{\sqrt 5 }}\sqrt 5 }}{{{{\log }_{\sqrt 5 }}x}} = – 4\) \( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 5 }}x = – \frac{1}{4}\) \( \Leftrightarrow x = {(\sqrt 5 )^{ – \frac{1}{4}}}.\)

Bài 40. Số nguyên tố dạng \({M_p} = {2^p} – 1\), trong đó \(p\) là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec – sen (Mersenne Marin, 1588 – 1648, người Pháp). Ở-le phát hiện \({M_{31}}\) năm 1750. Luy – Ca (Lucas Edouard, 1842 – 1891, người Pháp) phát hiện \({M_{127}}\) năm 1876. \({M_{1398269}}\) được phát hiện năm 1996. Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số.

Lời giải:

Ta có: \(\log \left( {{2^p} – 1} \right) = a.\)

Để tính số chữ số của \({2^p} – 1\) thì ta tính số chữ số của \({2^p}.\)

Khi viết trong hệ thập phân người ta lấy giá trị gần đúng của \(\log 2\) là \(0,3010.\)

Suy ra:

Số chữ số của \({M_{31}}\) là \([31.\log 2] + 1\) \( = [31.0,3010] + 1 = 10.\)

Số chữ số của \({M_{127}}\) là \([127.\log 2] + 1\) \( = [127.0,3010] + 1 = 39.\)

Số chữ số của \({M_{1398269}}\) là \([1398269.\log 2] + 1\) \( = [1398269.0,3010] + 1\) \( = 420921.\)

Bài 41. Một người gửi \(15\) triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn \(1\) quý với lãi suất \(1,65\% \) một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có ít nhất \(20\) triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu.

Lời giải:

Áp dụng công thức lãi kép ta có: \(C = A{(1 + r)^N}.\)

Trong đó \(A = 15\), \(r = 1,65\% \), \(C \ge 20.\)

\( \Rightarrow 15{(1 + 1,65\% )^N} \ge 20\) \( \Rightarrow {(1 + 1,65\% )^N} \ge \frac{4}{3}.\)

\( \Rightarrow N \ge {\log _{(1 + 0,0165)}}\frac{4}{3}.\)

Vậy ít nhất \(4\) năm \(3\) quý.