Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác

Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác - Giải chi tiết

I. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ

Trong hình học, giá trị lượng giác của một góc là tỷ lệ giữa các cạnh của một tam giác vuông. Đối với góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta có các giá trị lượng giác cơ bản sau:

• Sin α (sin): Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh huyền.
• Cosin α (cos): Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.
• Tang α (tan): Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh kề.
• Cotang α (cot): Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh đối.

Lưu ý:

• 0° ≤ α < 90°: Tất cả các giá trị lượng giác đều dương.
• α = 90°: sin α = 1, cos α = 0, tan α không xác định, cot α = 0.
• 90° < α ≤ 180°: sin α dương, cos α âm, tan α âm, cot α âm.

Ví dụ: Tính sin 30°, cos 60°, tan 45°.

sin 30° = 1/2

cos 60° = 1/2

tan 45° = 1

II. Định lí cosin

Định lí cosin là một công cụ quan trọng để giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc ba cạnh. Định lí phát biểu như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

• a² = b² + c² - 2bc.cos A
• b² = a² + c² - 2ac.cos B
• c² = a² + b² - 2ab.cos C

Ứng dụng:

• Tìm một cạnh khi biết hai cạnh và góc xen giữa.
• Tìm một góc khi biết ba cạnh.

III. Định lí sin

Định lí sin là một công cụ quan trọng khác để giải tam giác. Định lí phát biểu như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Ứng dụng:

• Tìm một cạnh khi biết một cạnh và hai góc.
• Tìm một góc khi biết một góc và hai cạnh.

IV. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 8cm, góc A = 60°. Tính độ dài cạnh BC.

Giải:

Áp dụng định lí cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cos A

BC² = 5² + 8² - 2.5.8.cos 60°

BC² = 25 + 64 - 80.1/2

BC² = 49

BC = 7cm

Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = 7cm, góc B = 45°, góc C = 60°. Tính độ dài cạnh AB.

Giải:

Áp dụng định lí sin, ta có:

AB/sin C = BC/sin A

Mà góc A = 180° - (B + C) = 180° - (45° + 60°) = 75°

AB/sin 60° = 7/sin 75°

AB = (7.sin 60°)/sin 75° ≈ 6.44cm

Hy vọng với những kiến thức và bài tập ví dụ trên, các em đã hiểu rõ hơn về bài học hôm nay. Chúc các em học tốt!