Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ - SGK Toán 11 Nâng cao

I. Khái niệm vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, một vectơ được xác định bởi tọa độ (x; y; z). Vectơ a = (x; y; z) có điểm đầu A(x_A; y_A; z_A) và điểm cuối B(x_B; y_B; z_B) sao cho x = x_B - x_A, y = y_B - y_A, z = z_B - z_A.

II. Các phép toán trên vectơ trong không gian

• Phép cộng vectơ: Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Vectơ tổng a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂).
• Phép trừ vectơ: Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Vectơ hiệu a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂).
• Phép nhân vectơ với một số thực: Cho vectơ a = (x; y; z) và số thực k. Vectơ ka = (kx; ky; kz).

III. Điều kiện đồng phẳng của các vectơ

Ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại các số thực α, β sao cho c = αa + βb. Một cách khác để kiểm tra điều kiện đồng phẳng là tính định thức hỗn tạp của ba vectơ. Nếu định thức hỗn tạp bằng 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a = (1; 2; 3), b = (2; -1; 1), c = (3; 1; 4). Chứng minh rằng ba vectơ a, b, c đồng phẳng.

Lời giải: Ta tính định thức hỗn tạp:

D = a . (b x c) = a . ((−1) * 4 - 1 * 1; 1 * 3 - 2 * 4; 2 * 1 - (−1) * 3) = a . (−5; −5; 5) = 1 * (−5) + 2 * (−5) + 3 * 5 = −5 − 10 + 15 = 0.

Vì D = 0 nên ba vectơ a, b, c đồng phẳng.

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để ba vectơ u = (1; 0; -1), v = (2; m; 1), w = (0; 1; 2) đồng phẳng.

Lời giải: Ba vectơ u, v, w đồng phẳng khi và chỉ khi định thức hỗn tạp của chúng bằng 0.

D = u . (v x w) = 1 * (2m - 1) - 0 * (4 - 0) + (-1) * (2 - 0) = 2m - 1 - 2 = 2m - 3.

Để D = 0 thì 2m - 3 = 0, suy ra m = 3/2.

V. Luyện tập

Các em hãy tự giải các bài tập còn lại trong SGK để củng cố kiến thức. Loigiai.com.vn sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho tất cả các bài tập, giúp các em học tập hiệu quả.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về vectơ trong không gian và điều kiện đồng phẳng của các vectơ. Chúc các em học tốt!