Bài 2. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu

Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu - Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chuyên đề này tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu, một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán 12 và có tính ứng dụng cao trong nhiều lĩnh vực khác.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức lý thuyết cơ bản:

• Đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số: Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a, b) nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b). Hàm số nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b).
• Cực trị của hàm số: Điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x thuộc (a, b). Điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x thuộc (a, b).
• Quy tắc tìm cực trị: Nếu f'(x) = 0 và:
  • f''(x) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu.
  • f''(x) < 0 thì x₀ là điểm cực đại.

II. Phương pháp giải bài toán tối ưu bằng đạo hàm

Để giải một bài toán tối ưu bằng đạo hàm, ta thường thực hiện các bước sau:

1. Xác định hàm số: Biểu diễn đại lượng cần tìm cực trị dưới dạng hàm số f(x) của một biến x.
2. Tìm tập xác định: Xác định tập xác định của hàm số f(x).
3. Tính đạo hàm: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
4. Tìm điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị của hàm số.
5. Kiểm tra điều kiện: Kiểm tra xem các điểm cực trị có thuộc tập xác định của hàm số hay không.
6. Tính giá trị: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và so sánh để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
7. Kết luận: Kết luận về giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của đại lượng cần tìm.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một người nông dân muốn rào một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi người đó cần dùng bao nhiêu mét lưới để rào mảnh đất đó với chi phí thấp nhất?

Giải:

Gọi x và y là chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật. Ta có diện tích S = xy = 100, suy ra y = 100/x. Chu vi của mảnh đất là P = 2(x + y) = 2(x + 100/x). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Tính đạo hàm P'(x) = 2(1 - 100/x²). Giải phương trình P'(x) = 0, ta được x = 10. Khi x = 10, y = 10. Vậy mảnh đất có hình vuông với cạnh 10m. Chu vi nhỏ nhất là P = 2(10 + 10) = 40m.

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x + 5.
• Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

Loigiai.com.vn hy vọng bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp vận dụng đạo hàm để giải bài toán tối ưu. Chúc các em học tập tốt!