Giải bài 1 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Người ta muốn xây một đường cống thoát nước có mặt cắt ngang là hình tạo bởi một nửa hình tròn ghép với một hình chữ nhật (Hình 6). Biết rằng mặt cắt ngang có diện tích 2 m². Các kích thước \(x,y\) (đơn vị: m) bằng bao nhiêu để chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất? Tính chu vi nhỏ nhất đó.

Lời giải chi tiết

Bán kính nửa hình tròn là \(\frac{x}{2}\).

Diện tích nửa hình tròn là \(\frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi {x^2}}}{8}\).

Diện tích hình chữ nhật là \(xy\).

Diện tích mặt cắt ngang là: \(xy + \frac{{\pi {x^2}}}{8}\).

Do diện tích mặt cắt ngang bằng 2m2 nên ta có: \(xy + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = 2 \Rightarrow y = \frac{1}{x}\left( {2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8}} \right)\).

Do \(x,y > 0\) nên ta có: \(\frac{1}{x}\left( {2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8}} \right) > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8} > 0 \Leftrightarrow \frac{{\pi {x^2}}}{8} < 2 \Leftrightarrow {x^2} < \frac{{16}}{\pi } \Leftrightarrow x < \frac{4}{{\sqrt \pi }}\)

Chu vi của mặt cắt ngang là:

\(P = \frac{1}{2}.2\pi .\frac{x}{2} + x + 2y = \frac{{\pi x}}{2} + x + 2.\frac{1}{x}\left( {2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8}} \right) = \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right)x + \frac{4}{x}\) với \(0 < x < \frac{4}{{\sqrt \pi }}\).

Xét hàm số \(P\left( x \right) = \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right)x + \frac{4}{x}\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{4}{{\sqrt \pi }}} \right)\).

Ta có: \(P'\left( x \right) = \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{4}{{{x^2}}}\)

\(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{16}}{{\pi + 4}} \Leftrightarrow x = \frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}\) hoặc \(x = - \frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}\) (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0;\frac{4}{{\sqrt \pi }}} \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\frac{4}{{\sqrt \pi }}} \right)} P\left( x \right) = P\left( {\frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}} \right) \approx 5,34\).

Vậy chu vi nhỏ nhất của mặt cắt ngang của đường cống là khoảng 5,34 m khi \(x = \frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }} \approx 1,50\left( m \right)\) và \(y = \frac{2}{{\frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}}} - \frac{{\pi .\frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}}}{8} \approx 0,75\left( m \right)\).