Bài 3. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 3. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trong chương 2 của sách Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo tập trung vào việc thiết lập và sử dụng các công thức biểu diễn toạ độ của các phép toán vectơ cơ bản. Việc nắm vững các công thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ trong không gian.

1. Các khái niệm cơ bản về vectơ trong không gian

Trước khi đi sâu vào các phép toán, chúng ta cần ôn lại một số khái niệm cơ bản:

• Vectơ: Một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối.
• Toạ độ vectơ: Biểu diễn vectơ thông qua các số thực, thể hiện sự thay đổi của các tọa độ khi di chuyển từ điểm đầu đến điểm cuối.
• Phép cộng vectơ: Quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác.
• Phép nhân vectơ với một số thực: Thay đổi độ dài của vectơ theo tỉ lệ với số thực đó.
• Phép nhân vô hướng của hai vectơ: Cho một số thực, liên quan đến độ dài của hai vectơ và góc giữa chúng.

2. Biểu thức toạ độ của phép cộng vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Khi đó, vectơ tổng a + b có toạ độ là:

a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂)

Nói cách khác, để cộng hai vectơ, ta cộng các hoành độ, tung độ và cao độ tương ứng của chúng.

3. Biểu thức toạ độ của phép trừ vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Khi đó, vectơ hiệu a - b có toạ độ là:

a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂)

Phép trừ vectơ tương tự như phép cộng, nhưng ta trừ các hoành độ, tung độ và cao độ tương ứng.

4. Biểu thức toạ độ của phép nhân vectơ với một số thực

Cho vectơ a = (x; y; z) và một số thực k. Khi đó, vectơ tích ka có toạ độ là:

ka = (kx; ky; kz)

Phép nhân vectơ với một số thực đơn giản là nhân mỗi thành phần của vectơ với số thực đó.

5. Biểu thức toạ độ của phép nhân vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Khi đó, tích vô hướng của a và b được tính bằng:

a ⋅ b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Tích vô hướng là một số thực, không phải là một vectơ.

6. Ứng dụng của các công thức

Các công thức trên được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến vectơ, chẳng hạn như:

• Tính độ dài của vectơ.
• Tìm góc giữa hai vectơ.
• Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ.
• Giải các bài toán hình học trong không gian.

7. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a + b và a - b.

a + b = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)

a - b = (1 + 2; 2 - 1; 3 - 0) = (3; 1; 3)

Ví dụ 2: Cho a = (2; -1; 4) và k = 3. Tính ka.

ka = (3 * 2; 3 * -1; 3 * 4) = (6; -3; 12)

Hy vọng rằng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ. Chúc các em học tập tốt!