Bài học này cung cấp lý thuyết đầy đủ và chi tiết về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo.
Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách biểu diễn các phép toán cộng, trừ, nhân vecto với một số, tích vô hướng và tích có hướng trong hệ tọa độ.
Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto 1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vecto và tích của một số với một vecto
1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vecto và tích của một số với một vecto
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\). Ta có:
|
2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\) được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\) |
3. Vận dụng
a) Xác định tọa độ của vecto khi biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B})\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A})\) |
b) Tọa độ trung điểm đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B}),C({x_C};{y_C};{z_C})\). Khi đó:
|
Trong chương trình Toán 12, phần Hình học Vectơ đóng vai trò quan trọng, đặc biệt là kiến thức về biểu thức tọa độ của các phép toán trên vectơ. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, áp dụng cho chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải bài tập một cách hiệu quả.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một vectơ \overrightarrow{a} được biểu diễn bằng cặp số (x; y), trong đó x là hoành độ và y là tung độ của vectơ. Ký hiệu \overrightarrow{a} = (x; y). Tương tự, trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một vectơ \overrightarrow{a} được biểu diễn bằng bộ ba số (x; y; z), ký hiệu \overrightarrow{a} = (x; y; z).
Cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (x_1; y_1) và \overrightarrow{b} = (x_2; y_2). Tổng của hai vectơ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} được tính như sau:
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)
Trong không gian, nếu \overrightarrow{a} = (x_1; y_1; z_1) và \overrightarrow{b} = (x_2; y_2; z_2) thì:
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2)
Cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (x_1; y_1) và \overrightarrow{b} = (x_2; y_2). Hiệu của hai vectơ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} được tính như sau:
\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)
Trong không gian, nếu \overrightarrow{a} = (x_1; y_1; z_1) và \overrightarrow{b} = (x_2; y_2; z_2) thì:
\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2; z_1 - z_2)
Cho vectơ \overrightarrow{a} = (x; y) và một số thực k. Tích của vectơ \overrightarrow{a} với số k được tính như sau:
k\overrightarrow{a} = (kx; ky)
Trong không gian, nếu \overrightarrow{a} = (x; y; z) thì:
k\overrightarrow{a} = (kx; ky; kz)
Tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{a} = (x_1; y_1) và \overrightarrow{b} = (x_2; y_2) được tính như sau:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2
Trong không gian, nếu \overrightarrow{a} = (x_1; y_1; z_1) và \overrightarrow{b} = (x_2; y_2; z_2) thì:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2
Ứng dụng: Tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ.
Tích có hướng của hai vectơ \overrightarrow{a} = (x_1; y_1; z_1) và \overrightarrow{b} = (x_2; y_2; z_2) được tính như sau:
\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (y_1z_2 - z_1y_2; z_1x_2 - x_1z_2; x_1y_2 - y_1x_2)
Ứng dụng: Tìm vectơ vuông góc với cả hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b}, tính diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ.
Ví dụ 1: Cho \overrightarrow{a} = (2; -1) và \overrightarrow{b} = (1; 3). Tính \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} và \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}.
Giải:
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (2+1; -1+3) = (3; 2)
\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2-1; -1-3) = (1; -4)
Ví dụ 2: Cho \overrightarrow{a} = (1; 2; -1) và \overrightarrow{b} = (0; -1; 3). Tính \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}.
Giải:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(0) + (2)(-1) + (-1)(3) = 0 - 2 - 3 = -5
Việc nắm vững lý thuyết và thực hành các bài tập về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ là nền tảng quan trọng để học tốt môn Toán 12. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
