Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm

Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm - Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 11, chuyên đề về phép biến hình đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng kiến thức hình học không gian. Bài 4, tập trung vào phép quay và phép đối xứng tâm, là một bước tiến quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về các phép biến hình cơ bản và ứng dụng của chúng.

I. Phép quay

1. Định nghĩa: Phép quay tâm O với góc α (α đo theo độ, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và góc xOM’ = xOM + α.

2. Tính chất:

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ: Nếu M(x; y) và O(0; 0) thì M’(x’; y’) được tính bởi:

x’ = xcosα - ysinα

y’ = xsinα + ycosα

II. Phép đối xứng tâm

1. Định nghĩa: Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’.

2. Tính chất:

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ: Nếu M(x; y) và O(a; b) thì M’(x’; y’) được tính bởi:

x’ = 2a - x

y’ = 2b - y

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho điểm A(1; 2) và phép quay tâm O(0; 0) với góc 90° (chiều dương). Tìm tọa độ điểm A’.

Giải:

x’ = 1cos90° - 2sin90° = -2

y’ = 1sin90° + 2cos90° = 1

Vậy A’(-2; 1).

Bài 2: Cho điểm B(3; -1) và phép đối xứng tâm I(1; 2). Tìm tọa độ điểm B’.

Giải:

x’ = 2(1) - 3 = -1

y’ = 2(2) - (-1) = 5

Vậy B’(-1; 5).

IV. Ứng dụng của phép quay và phép đối xứng tâm

Phép quay và phép đối xứng tâm có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, vật lý, kỹ thuật. Ví dụ:

• Trong thiết kế hình học, phép quay và phép đối xứng tâm được sử dụng để tạo ra các hình ảnh đối xứng và cân đối.
• Trong vật lý, phép quay được sử dụng để mô tả chuyển động tròn của các vật thể.
• Trong kỹ thuật, phép đối xứng tâm được sử dụng để thiết kế các cấu trúc cân bằng và ổn định.

V. Kết luận

Bài 4 đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản về phép quay và phép đối xứng tâm. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của hai phép biến hình này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán hình học và ứng dụng chúng trong thực tế. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, các em sẽ học tốt môn Toán 11 và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi.