Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân - SBT Toán 12 - Cánh diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 4 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào việc ứng dụng tích phân để tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường cong. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa tích phân và hình học.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các kiến thức lý thuyết sau:

• Diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức: ∫_a^b |f(x)| dx
• Diện tích hình phẳng giữa hai đường cong: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x) (với f(x) ≥ g(x)) trên đoạn [a, b] được tính bằng công thức: ∫_a^b [f(x) - g(x)] dx
• Chú ý: Khi tính diện tích, cần xác định đúng khoảng tích phân và đảm bảo f(x) ≥ g(x) trên khoảng đó.

II. Giải chi tiết Bài 4 SBT Toán 12 Cánh diều

Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập trong Bài 4:

Bài 4.1

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x², y = 0 và x = -1, x = 1.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

∫_-1¹ x² dx = [x³/3]_-1¹ = (1³/3) - ((-1)³/3) = 1/3 + 1/3 = 2/3

Vậy diện tích hình phẳng là 2/3.

Bài 4.2

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin(x), y = 0 và x = 0, x = π.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

∫₀^π sin(x) dx = [-cos(x)]₀^π = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) + 1 = 2

Vậy diện tích hình phẳng là 2.

Bài 4.3

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x² và y = 4.

Lời giải:

Tìm giao điểm của hai đường cong:

x² = 4 => x = -2 hoặc x = 2

Diện tích hình phẳng cần tính là:

∫_-2² (4 - x²) dx = [4x - x³/3]_-2² = (4*2 - 2³/3) - (4*(-2) - (-2)³/3) = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 8 - 8/3 + 8 - 8/3 = 16 - 16/3 = 32/3

Vậy diện tích hình phẳng là 32/3.

III. Luyện tập và mở rộng

Để nắm vững kiến thức về ứng dụng hình học của tích phân, các em nên luyện tập thêm các bài tập tương tự. Ngoài ra, có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng khác của tích phân trong việc tính thể tích vật thể, độ dài đường cong,...

IV. Kết luận

Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân - SBT Toán 12 - Cánh diều là một bài học quan trọng, giúp các em hiểu rõ hơn về ứng dụng thực tế của tích phân. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em sẽ học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong môn Toán.