Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác - SGK Toán 10 - Kết nối tri thức

I. Tóm tắt lý thuyết

Bài 6 tập trung vào việc nghiên cứu mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác. Các hệ thức lượng trong tam giác là những công thức liên hệ giữa các cạnh và góc của tam giác. Chúng ta sẽ xét các trường hợp tam giác vuông và tam giác thường.

1. Tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, các hệ thức lượng cơ bản bao gồm:

• Định lý Pytago: a² + b² = c² (trong đó c là cạnh huyền)
• Hệ thức giữa cạnh và đường cao: h² = ab (h là đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền)
• Các hệ thức khác: 1/a² + 1/b² = 1/h²

2. Tam giác thường

Đối với tam giác thường, chúng ta có định lý cosin và định lý sin:

• Định lý cosin:
  • a² = b² + c² - 2bc.cosA
  • b² = a² + c² - 2ac.cosB
  • c² = a² + b² - 2ab.cosC
• Định lý sin: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)

II. Lời giải bài tập

Bài 1: (SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1)

Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, góc BAC = 60^o. Tính độ dài cạnh BC.

Lời giải:

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosBAC

BC² = 5² + 7² - 2.5.7.cos60^o

BC² = 25 + 49 - 70.0.5

BC² = 74 - 35 = 39

BC = √39 cm

Bài 2: (SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1)

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Lời giải:

Áp dụng định lý Pytago, ta có: BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm

Khi đó:

• sinB = AC/BC = 4/5
• cosB = AB/BC = 3/5
• tanB = AC/AB = 4/3
• cotB = AB/AC = 3/4

III. Bài tập vận dụng

1. Cho tam giác ABC có BC = 8cm, góc B = 60^o, góc C = 45^o. Tính độ dài các cạnh AB và AC.

2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH = 4cm và HC = 9cm. Tính độ dài các cạnh AB, AC và đường cao AH.

3. Một người đứng ở vị trí A và quan sát một tòa nhà cao AB. Người đó đo được góc tạo bởi đường thẳng AB và phương ngang là 30^o. Biết khoảng cách từ người đó đến chân tòa nhà là 50m. Tính chiều cao của tòa nhà.

IV. Kết luận

Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác cung cấp những công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác. Việc nắm vững các định lý và công thức trong bài học này sẽ giúp các em áp dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau trong toán học và thực tế cuộc sống.