Bài 6. Phép vị tự

Bài 6. Phép vị tự - Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Phép vị tự là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết nhiều bài toán liên quan đến sự đồng dạng của các hình. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, tính chất và ứng dụng của phép vị tự trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo.

1. Định nghĩa phép vị tự

Phép vị tự là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho M’ nằm trên tia OM và OM’ = k.OM, với k là một số thực dương gọi là tỉ số vị tự. O được gọi là tâm vị tự.

2. Tính chất của phép vị tự

• Phép vị tự bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Phép vị tự bảo toàn góc.
• Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
• Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng tâm và bán kính bằng k lần bán kính đường tròn ban đầu.

3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép vị tự tâm O(a, b) tỉ số k biến điểm M(x, y) thành điểm M’(x’, y’) thì:

• x’ = a + k(x - a)
• y’ = b + k(y - b)

4. Ứng dụng của phép vị tự trong giải toán

Phép vị tự được ứng dụng rộng rãi trong việc chứng minh sự đồng dạng của các hình, giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ và khoảng cách. Một số ứng dụng cụ thể:

• Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
• Tìm điểm nằm trên đường thẳng sao cho thỏa mãn một điều kiện nào đó.
• Giải các bài toán hình học phẳng phức tạp.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và điểm O. Dựng tam giác A’B’C’ sao cho A’ là ảnh của A qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2.

Lời giải:

1. Vẽ tia OA.
2. Trên tia OA, lấy điểm A’ sao cho OA’ = 2OA.
3. Tương tự, vẽ tia OB và OC, lấy B’ và C’ sao cho OB’ = 2OB và OC’ = 2OC.
4. Nối A’B’ và B’C’ ta được tam giác A’B’C’ cần dựng.

Ví dụ 2: Cho điểm M(2, 3) và phép vị tự tâm O(1, 2) tỉ số k = -1. Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép vị tự.

Lời giải:

x’ = 1 + (-1)(2 - 1) = 0

y’ = 2 + (-1)(3 - 2) = 1

Vậy M’(0, 1).

6. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về phép vị tự, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Cho tam giác ABC và điểm O. Dựng tam giác A’B’C’ sao cho A’ là ảnh của A qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 0.5.
• Bài 2: Cho điểm N(-1, 4) và phép vị tự tâm I(0, 0) tỉ số k = 3. Tìm tọa độ điểm N’ là ảnh của N qua phép vị tự.
• Bài 3: Chứng minh rằng hai tam giác đồng dạng bằng phép vị tự.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về phép vị tự. Chúc các em học tập tốt!