Bài 7. Cấp Số Nhân

Bài 7. Cấp số nhân - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 7. Cấp số nhân trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em các kiến thức cần thiết về cấp số nhân, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết.

Chúng tôi hy vọng rằng, với sự hướng dẫn tận tình này, các em sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập về cấp số nhân.

Bài 7. Cấp số nhân - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Việc hiểu rõ khái niệm, tính chất và các công thức liên quan đến cấp số nhân là vô cùng quan trọng trong chương trình Toán 11.

I. Khái niệm cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho:

u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

II. Các tính chất của cấp số nhân

Cấp số nhân có những tính chất quan trọng sau:

Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:
- S_n = a(1 - qⁿ) / (1 - q) nếu q ≠ 1
- S_n = n.a nếu q = 1

III. Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải

Dạng 1: Xác định số hạng tổng quát và công bội của cấp số nhân.
Phương pháp: Sử dụng công thức u_n+1 = q.u_n để tìm công bội q. Sau đó, sử dụng công thức u_n = a.q^n-1 để tìm số hạng tổng quát.
Dạng 2: Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Phương pháp: Xác định a, q và n. Sau đó, sử dụng công thức tính tổng S_n tương ứng với q ≠ 1 hoặc q = 1.
Dạng 3: Tìm số hạng hoặc số lượng số hạng của cấp số nhân.
Phương pháp: Sử dụng các công thức về số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu tiên để thiết lập phương trình và giải tìm ẩn.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân.

Giải: Số hạng thứ 5 của cấp số nhân là u₅ = u₁.q^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và tổng 3 số hạng đầu là 7. Tính công bội q.

Giải: Ta có S₃ = u₁(1 - q³) / (1 - q) = 7. Thay u₁ = 1, ta được (1 - q³) / (1 - q) = 7. Giải phương trình này, ta được q = 2.

V. Luyện tập

Để củng cố kiến thức về cấp số nhân, các em hãy tự giải các bài tập trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức. Chú trọng việc hiểu rõ bản chất của từng dạng bài và áp dụng các công thức một cách linh hoạt.

VI. Kết luận

Bài 7. Cấp số nhân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập về cấp số nhân sẽ giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng vào thực tế.