giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: lũy thừa với số mũ thực

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Lũy thừa với số mũ thực.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 12. Xét mệnh đề: “Với các số thực \(x\), \(a\), \(b\), nếu \(0 < a < b\) thì \({a^x} < {b^x}\)”. Với điều kiện nào sau đây của \(x\) thì mệnh đề đó đúng?

(A) \(x\) bất kỳ.

(B) \(x /> 0.\)

(C) \(x < 0.\)

Lời giải:

Điều kiện (B). Vì theo tính chất của lũy thừa với số mũ thực.

Bài 13. Xét mệnh đề: “Với các số thực \(a\), \(x\), \(y\) nếu \(x < y\) thì \({a^x} < {a^y}\)”. Với điều kiện nào sau đây của \(a\) thì mệnh đề đó đúng.

(A) \(a\) bất kỳ.

(B) \(a /> 0.\)

(C) \(a /> 1.\)

Lời giải:

Điều kiện (C). Vì theo tính chất của lũy thừa với số mũ thực.

Bài 14. Cho các số thực \(a\), \(x\), \(y\) với \(x < y.\) Hãy tìm điều kiện của \(a\) để \({a^x} /> {a^y}.\)

Lời giải:

Theo tính chất lũy thừa với số mũ thực thì điều kiện của \(a\) là: \(0 < a < 1.\)

Bài 15. Tính các biểu thức:

\({\left( {0,{5^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }}.\)

\({2^{2 – 3\sqrt 5 }}{.8^{\sqrt 5 }}.\)

\({3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}}.\)

Lời giải:

\({\left( {0,{5^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }} = {\left( {0,{5^{{2^{\frac{1}{2}}}}}} \right)^{\frac{1}{{{8^2}}}}}\) \( = 0,{5^{{2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}}} = 0,{5^{{2^2}}}\) \( = {(0,5)^4} = \frac{1}{{16}}.\)

\({2^{2 – 3\sqrt 5 }}{.8^{\sqrt 5 }} = {2^{2 – 3\sqrt 5 }}{.2^{3\sqrt 5 }}\) \( = {2^2} = 4.\)

\({3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}}\) \( = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{3^{2\sqrt[3]{2}}} = 3.\)

Bài 16. Đơn giản biểu thức: \(P = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 3 – 1}}} \right)}^{\sqrt 3 + 1}}}}{{{a^{\sqrt 5 – 3}}.{a^{4 – \sqrt 5 }}}}\), \(Q = {a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 – 1}}.\)

Lời giải:

Ta có \(P = \frac{{{a^{(\sqrt 3 – 1)(\sqrt 3 + 1)}}}}{{{a^{(\sqrt 5 – 3) + (4 – \sqrt 5 )}}}}\) \( = \frac{{{a^{3 – 1}}}}{{{a^1}}} = a.\)

\(Q = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{1 – \sqrt 2 }}\) \( = {a^{\sqrt 2 + 1 – \sqrt 2 }} = a.\)

Bài 17. Một người gửi \(15\) triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn \(1\) năm với lãi suất \(7,56\% \) một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau \(5\) năm là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

Áp dụng công thức lãi kép \(C = A{(1 + r)^N}.\)

Trong đó \(A = 15\), \(r = 7,56\% \), \(N = 5\) \( \Rightarrow C = 15{(1 + 7,56\% )^5}\) \( = 15.1,{0756^5} \approx 21,59\) triệu đồng.

LUYỆN TẬP

Bài 18. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỉ:

a) \(\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}}\) \((x /> 0).\)

b) \(\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}}\) \((a /> 0,b /> 0).\)

c) \(\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}.\)

d) \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \((a /> 0).\)

Lời giải:

a) \(\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}} = \sqrt[4]{{{x^2}{x^{\frac{1}{3}}}}}\) \( = \sqrt[4]{{{x^{\frac{7}{3}}}}} = {\left( {{x^{\frac{7}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {x^{\frac{7}{{12}}}}.\)

b) \(\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}} = \sqrt[5]{{\frac{b}{a}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}\) \( = \sqrt[5]{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^{ – 1}}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[5]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{ – \frac{2}{3}}}}}\) \( = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ – \frac{2}{{15}}}}.\)

c) \(\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} } }} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}}}\) \( = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}\) \( = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}.\)

d) \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \( = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a.{a^{\frac{1}{2}}}} } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \( = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {{a^{\frac{3}{2}}}} } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \( = \sqrt {a\sqrt {a.{a^{\frac{3}{4}}}} } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}.\)

\( = \sqrt {a\sqrt {{a^{\frac{7}{4}}}} } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \( = \sqrt {a.{a^{\frac{7}{8}}}} :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \( = \sqrt {{a^{\frac{{15}}{8}}}} :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \( = {a^{\frac{{15}}{{16}}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \( = {a^{\frac{4}{{16}}}} = {a^{\frac{1}{4}}}.\)

Bài 19. Đơn giản biểu thức:

a) \({a^{ – 2\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{{{a^{ – \sqrt 2 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}.\)

b) \({\left( {\frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{b^{\sqrt 3 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 3 + 1}}.\frac{{{a^{ – 1 – \sqrt 3 }}}}{{{b^{ – 2}}}}.\)

c) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1.\)

d) \(\sqrt {{{\left( {{x^\pi } + {y^\pi }} \right)}^2} – {{\left( {{4^{\frac{1}{\pi }}}xy} \right)}^\pi }} .\)

Lời giải:

a) \({a^{ – 2\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{{{a^{ – \sqrt 2 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}\) \( = {a^{ – 2\sqrt 2 }}.{\left( {{a^{\sqrt 2 + 1}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}\) \( = {a^{ – 2\sqrt 2 }}.{a^{3 + 2\sqrt 2 }} = {a^3}.\)

b) \({\left( {\frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{b^{\sqrt 3 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 3 + 1}}.\frac{{{a^{ – 1 – \sqrt 3 }}}}{{{b^{ – 2}}}}\) \( = \frac{{{a^{3 + \sqrt 3 }}.{a^{ – 1 – \sqrt 3 }}}}{{{b^{{{(\sqrt 3 )}^2} – 1}}.{b^{ – 2}}}}\) \( = \frac{{{a^2}}}{{{b^{3 – 3}}}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^0}}} = {a^2}.\)

c) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\) \( = \frac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\) \( = \frac{{{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}} + 1.\)

\( = \frac{{{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}}\) \( = \frac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}}.\)

d) \(\sqrt {{{\left( {{x^\pi } + {y^\pi }} \right)}^2} – {{\left( {{4^{\frac{1}{\pi }}}xy} \right)}^\pi }} \) \( = \sqrt {{x^{2\pi }} + 2{x^\pi }{y^\pi } + {y^{2\pi }} – 4{x^\pi }{y^\pi }} \) \( = \sqrt {{x^{2\pi }} – 2{x^\pi }{y^\pi } + {y^{2\pi }}} .\)

\( = \sqrt {{{\left( {{x^\pi } – {y^\pi }} \right)}^2}} \) \( = \left| {{x^\pi } – {y^\pi }} \right|.\)

Bài 20. Tìm các số thực \(\alpha \) thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) \(\frac{1}{2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ – \alpha }}} \right) = 1\) \((a /> 0).\)

b) \({3^{|\alpha |}} < 27.\)

Lời giải:

a) \(\frac{1}{2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ – \alpha }}} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ – \alpha }} = 2\) \( \Leftrightarrow {a^{2\alpha }} – 2{a^\alpha } + 1 = 0.\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{a^\alpha } – 1} \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {a^\alpha } – 1 = 0\) \( \Rightarrow \alpha = 0.\)

b) \({3^{|\alpha |}} < 27\) \( \Leftrightarrow {3^{|\alpha |}} < {3^3}\) \( \Leftrightarrow |\alpha | < 3\) \( \Leftrightarrow – 3 < \alpha < 3.\)

Bài 21. Giải các bất phương trình sau bằng cách đặt \(t = \sqrt[4]{x}.\)

a) \(\sqrt x + \sqrt[4]{x} = 2.\)

b) \(\sqrt x – 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0.\)

Lời giải:

a) Đặt \(t = \sqrt[4]{x}\) ta được: \({t^2} + t – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = 1}\\

{t = – 2\:\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right..\)

Với \(t = 1\) \( \Rightarrow t = \sqrt[4]{x}\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)

b) Đặt \(t = \sqrt[4]{x}\) ta được \({t^2} – 3t + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = 1}\\

{t = 2}

\end{array}} \right..\)

Với \(t = 1 \Leftrightarrow x = 1.\)

Với \(t = 2 \Leftrightarrow x = 8.\)

Bài 22. Giải các phương trình sau:

a) \({x^4} < 3.\)

b) \({x^{11}} \ge 7.\)

c) \({x^{10}} /> 2.\)

d) \({x^3} \le 5.\)

Lời giải:

a) \({x^4} < 3\) \( \Leftrightarrow – \sqrt[4]{3} < x < \sqrt[4]{3}.\)

b) \({x^{11}} \ge 7\) \( \Leftrightarrow x \ge \sqrt[{11}]{7}.\)

c) \({x^{10}} /> 2\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x /> \sqrt[{10}]{2}}\\

{x < – \sqrt[{10}]{2}}

\end{array}} \right..\)

d) \({x^3} \le 5\) \( \Leftrightarrow x \le \sqrt[3]{5}.\)