Trắc nghiệm Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác Toán 8 Cánh diều

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.

Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{DC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) (tính chất đường phân giác)

Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) , do đó \(\frac{x}{y} = \frac{{3,5}}{{7,5}} = \frac{7}{{15}}\)

Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{3}{4}\)

Đáp án A: Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{3}{4}\)

Đáp án B, C không đúng.

Trong tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}}\)

Mà \(AB < AC\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} < 1\) do đó \(\frac{{BD}}{{DC}} < 1\) nên \(BD < DC\)

Xét tam giác EDF có EM là tia phân giác của góc FED nên \(\frac{{DM}}{{MF}} = \frac{{ED}}{{FE}}\) hay \(\frac{{3,5}}{{5,6}} = \frac{{4,5}}{x}\)

\(x = \frac{{4,5.5,6}}{{3,5}} = \frac{{36}}{5}\)

Vì \(AC = 2AB\) nên \(\frac{{AC}}{{AB}} = 2\)

Trong tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{DC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}} = 2\) nên \(BD = \frac{1}{2}DC\)

Vì hai tam giác ADC và ADB có cùng đường cao xuất phát từ đỉnh A xuống BC.

Do đó, \(\frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{BD}}{{DC}}\)

Trong tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}\)

Vậy \(\frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{3}{4}\)

Xét tam giác ABC có BE là đường phân giác của góc ABC nên \(\frac{{EC}}{{EA}} = \frac{{BC}}{{BA}}\) (1)

Xét tam giác ABM có DB là đường phân giác của góc ABM nên \(\frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{BM}}{{BA}}\) (2)

Mà M là trung điểm của BC nên \(BM = MC = \frac{1}{2}BC \Rightarrow \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BC}}{{2.BA}}\)

Nên \(2\frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{BA}}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\frac{{EC}}{{EA}} = 2\frac{{DM}}{{DA}}\) .

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = 16\) nên \(AC = 3cm\)

Trong tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{3}\)

Ta có: \(CD = BC - CD = 6cm\)

Tam giác ABC có AD là phân giác của góc BAC nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Kẻ DE vuông góc với AC tại E, khi đó DE là khoảng cách từ D đến AC

Lại có: AB vuông góc với AC nên DE//AB

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 25\) nên \(BC = 5cm\)

Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\) nên \(BD = \frac{3}{4}DC\)

Ta có: \(BD + DC = BC\)

\(\frac{3}{4}DC + DC = 5\) nên \(DC = \frac{{20}}{7}cm\)

Tam giác ABC có DE//AB nên theo hệ quả của định lý Thalès ta có:

\(\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}\) hay \(\frac{{DE}}{3} = \frac{{\frac{{20}}{7}}}{5} = \frac{4}{7}\) nên \(DE = \frac{4}{7}.3 = \frac{{12}}{7}\left( {cm} \right)\)

Vì AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\widehat {DAE} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = {45^0}\)

Mà tam giác DAE vuông tại E nên tam giác DAE vuông cân tại E. Do đó, \(DE = AE = \frac{{12}}{7}cm\)

Tam giác BCZ vuông tại C nên theo định lý Pytago ta có:

\(BZ = \sqrt {B{C^2} + C{Z^2}} = 10\)

Trong tam giác BCZ có BU là đường phân giác của góc CBZ nên \(\frac{{UC}}{{UZ}} = \frac{{BC}}{{BZ}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}\)

Do đó, \(\frac{{UC}}{4} = \frac{{UZ}}{5}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{UC}}{4} = \frac{{UZ}}{5} = \frac{{UC + UZ}}{{4 + 5}} = \frac{{CZ}}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) nên \(UC = 4.\frac{2}{3} = \frac{8}{3}\)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 625\) nên \(BC = 25cm\)

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\) nên \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{15.20}}{{25}} = 12\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AHB vuông tại H có: \(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\)

\(H{B^2} = A{B^2} - A{H^2} = 81\) nên \(HB = 9cm\) , do đó, \(HC = BC - HB = 16\left( {cm} \right)\)

Vì AD là đường phân giác của góc BAH trong tam giác ABH nên

\(\frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{BD}}{{DH}} = \frac{{BH - DH}}{{DH}}\) nên \(\frac{{15}}{{12}} = \frac{{9 - DH}}{{DH}}\)

\(15DH = 108 - 12DH\) nên \(DH = 4cm\)

Vì tam giác ABC cân tại A nên \(AB = AC = 15cm\)

Xét tam giác ABC có BD là đường phân giác của góc ABC nên \(\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\) , do đó \(\frac{{AD}}{{AD + DC}} = \frac{{AB}}{{BC + AB}}\) hay \(\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{BC + AB}}\) , do đó \(\frac{{AD}}{{15}} = \frac{{15}}{{15 + 10}}\)

Suy ra: \(AD = \frac{{15.15}}{{25}} = 9\left( {cm} \right)\)

Vì BD, CE là các đường phân giác trong tam giác ABC nên: \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{1}{2};\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{3}{4}\)

Do đó \(\frac{{AB}}{2} = \frac{{BC}}{4} = \frac{{AC}}{3}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AB}}{2} = \frac{{BC}}{4} = \frac{{AC}}{3} = \frac{{AB + BC + AC}}{{2 + 4 + 3}} = \frac{{27}}{9} = 3\)

Do đó, \(AB = 6cm,BC = 12cm,AC = 9cm\)

Vì tam giác ADM và tam giác ABC có chung chiều cao kẻ từ A đến BC nên \(\frac{{{S_{ADM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{DM}}{{BC}} \Rightarrow {S_{ADM}} = \frac{{DM}}{{BC}}.{S_{ABC}}\)

Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên: \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{CA}} = \frac{m}{n} \Rightarrow DB = mt,DC = nt\) (với \(t > 0\) )

Do đó, \(BC = DC + BD = \left( {m + n} \right)t\) , suy ra \(BM = \frac{1}{2}BC = \frac{{\left( {m + n} \right)t}}{2}\)

Ta có: \(DM = BM - DB = \frac{{\left( {m + n} \right)t - 2mt}}{2} = \frac{{\left( {n - m} \right)t}}{2}\)

Suy ra: \(\frac{{DM}}{{BC}} = \frac{{\frac{{\left( {n - m} \right)t}}{2}}}{{\left( {m + n} \right)t}} = \frac{{n - m}}{{2\left( {m + n} \right)}}\)

Vậy \({S_{AMD}} = \frac{{n - m}}{{2\left( {m + n} \right)}}S{ _{ABC}}\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}.\)

Vì BE và DF lần lượt là phân giác của góc ABC và góc ADC nên \(\widehat {ADF} = \widehat {CBE}\)

Mặt khác, ta có: \(AD = CB = b,\widehat {DAF} = \widehat {BCE}\) (so le trong)

Suy ra: \(\Delta ADF = \Delta CBE\left( {g.c.g} \right)\) nên \(AF = CE\)

Đặt \(AF = CE = x\)

Xét tam giác ABC có BE là đường phân giác của góc ABC nên

\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{CE}} = \frac{{FA + FE}}{{CE}} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{{x + m}}{x} \Rightarrow x = \frac{{mb}}{{a - b}}\)

\(AC = 2x + m = \frac{{2mb}}{{a - b}} + m = \frac{{m\left( {a + b} \right)}}{{a - b}} = \frac{{3,45\left( {12,5 + 7,25} \right)}}{{12,5 - 7,25}} \approx 12,98cm\)

Tam giác ABC có BD là đường phân giác của góc ABC nên \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow AD = \frac{2}{3}DC\)

Lại có: \(AC = DC + AD = \frac{2}{3}DC + DC = \frac{5}{3}DC \Rightarrow \frac{5}{3}DC = 5 \Rightarrow DC = 3cm \Rightarrow AD = 2cm\)

Vì tam giác DAE và tam giác CAE có chung đường cao kẻ từ E đến AC nên \(\frac{{{S_{DAE}}}}{{{S_{ACE}}}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{2}{5}\left( 1 \right)\)

Vì tam giác ACE và tam giác CAB có chung đường cao kẻ từ C đến AB nên \(\frac{{{S_{ACE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AE}}{{AB}}\left( 2 \right)\)

Tam giác ABC có CE là đường phân giác của góc ACB nên:

\(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{EB}}{{BC}}\) hay \(\frac{{AE}}{5} = \frac{{EB}}{6}\) Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AE}}{5} = \frac{{EB}}{6} = \frac{{AE + EB}}{{5 + 6}} = \frac{{AB}}{{11}} = \frac{4}{{11}}\)

Suy ra: \(AE = \frac{4}{{11}}.5 = \frac{{20}}{{11}} \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{5}{{11}}\left( 3 \right)\)

Thay (3) vào (2) ta có: \(\frac{{{S_{ACE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{5}{{11}}\left( 4 \right)\)

Nhân vế với vế của (1) và (4) ta có: \(\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{2}{5}.\frac{5}{{11}} = \frac{2}{{11}}\)

Kẻ DI//BK thì DI//EK

Áp dụng định lý Thalès vào tam giác AID và tam giác BKC ta được: \(\frac{{AK}}{{KI}} = \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{3}{2}\) \( \Rightarrow AK = \frac{{3KI}}{2}\left( 1 \right);\frac{{CK}}{{KI}} = \frac{{CB}}{{BD}}\left( 2 \right)\)

Tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{CA}}{{AB}}\) hay \(\frac{{CD}}{{DB}} = \frac{{12}}{8} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{CD}}{3} = \frac{{DB}}{2}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{CD}}{3} = \frac{{DB}}{2} = \frac{{CD + DB}}{{2 + 3}} = \frac{{BC}}{5} \Rightarrow \frac{{CB}}{{DB}} = \frac{5}{2}\left( 3 \right)\)

Thay (3) vào (2) ta có: \(\frac{{CK}}{{KI}} = \frac{5}{2} \Rightarrow CK = \frac{5}{2}KI\left( 4 \right)\)

Chia theo vế các đẳng thức của (1) và (4) ta được: \(\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{3KI}}{2}:\frac{{5KI}}{2} = \frac{3}{5}\)

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD và BI vào các tam giác ABC, ABD ta được: \(\frac{{DI}}{{IA}} = \frac{{DB}}{{BA}} = \frac{{DB}}{c}\left( 1 \right)\)

\(\frac{{DB}}{{BA}} = \frac{{DC}}{{CA}}\) hay \(\frac{{DB}}{c} = \frac{{DC}}{b}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{DB}}{c} = \frac{{DC}}{b} = \frac{{DB + DC}}{{c + b}} = \frac{{BC}}{{b + c}} \Rightarrow DB = \frac{{ca}}{{b + c}}\left( 2 \right)\)

Thay (2) vào (1) ta được: \(\frac{{DI}}{{IA}} = \frac{{ca}}{{c\left( {b + c} \right)}} = \frac{a}{{b + c}}\)

Suy ra: \(\frac{{DI}}{a} = \frac{{IA}}{{b + c}} = \frac{{DI + IA}}{{a + b + c}} = \frac{{AD}}{{a + b + c}} \Rightarrow \frac{{DI}}{{AD}} = \frac{a}{{a + b + c}}\left( 3 \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{{EI}}{{EB}} = \frac{b}{{a + b + c}},\frac{{FI}}{{FC}} = \frac{c}{{a + b + c}}\left( 5 \right)\)

Cộng theo vế của (3), (4), (5) ta có: \(\frac{{DI}}{{DA}} + \frac{{EI}}{{EB}} + \frac{{FI}}{{FC}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1\)

Ta có: \(HF = GF - GH = 20 - x\)

Xét tam giác GEF có EH là đường phân giác của góc GEF nên

\(\frac{{GH}}{{HF}} = \frac{{EG}}{{FE}}\) hay \(\frac{x}{{20 - x}} = \frac{{18}}{{12}}\)

\(12x = 18\left( {20 - x} \right)\)

\(12x = 360 - 18x\)

\(30x = 360\)

\(x = 12\)

Trong tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) nên \(\frac{{DB}}{1} = \frac{{DC}}{2}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{DB}}{1} = \frac{{DC}}{2} = \frac{{DB + DC}}{{1 + 2}} = \frac{{BC}}{3} = \frac{3}{3} = 1\)

Do đó, \(DB = 1\)

Xét tam giác ABD có BI là đường phân giác của góc ABD nên \(\frac{{ID}}{{IA}} = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{1}{2}\)

Xét tam giác ABC có:

AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

BE là đường phân giác của góc ABC nên \(\frac{{EC}}{{EA}} = \frac{{BC}}{{AB}}\)

CF là đường phân giác của góc BCA nên \(\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{AC}}{{BC}}\)

Do đó, \(\frac{{DB}}{{DC}}.\frac{{EC}}{{EA}}.\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\frac{{BC}}{{AB}}.\frac{{AC}}{{BC}} = 1\)

Xét tam giác AMB có MD là đường phân giác của góc AMB nên \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}\)

Xét tam giác AMC có ME là đường phân giác của góc AMC nên \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{MA}}{{MC}}\)

Mà \(MB = MC\) nên \(\frac{{MA}}{{AB}} = \frac{{MA}}{{MC}}\) nên \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}\) , do đó DE//BC (định lý Thalès đảo)

Áp dụng hệ quả của định lý Thalès vào hai tam giác ABM và ACM có:

\(\frac{{ID}}{{MB}} = \frac{{IA}}{{AM}}\) và \(\frac{{IE}}{{MC}} = \frac{{AI}}{{AM}}\) , do đó, \(\frac{{ID}}{{MB}} = \frac{{IE}}{{MC}}\)

Mà \(MB = MC\) nên \(DI = IE\)

Xét tam giác ABC có AM là đường phân giác góc BAC nên \(\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{a}{b}\)

Xét tam giác ABC có CN là đường phân giác góc BCA nên \(\frac{{NB}}{{NA}} = \frac{{CB}}{{AC}} = \frac{a}{b}\)

Do đó, \(\frac{{NB}}{{NA}} = \frac{{MB}}{{MC}}\) nên MN//AC (định lý Thalès đảo)

Ta có: \(\frac{{NB}}{{NA}} = \frac{{CB}}{{AC}} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{{NB}}{{NB + NA}} = \frac{a}{{a + b}}\) hay \(\frac{{NB}}{{AB}} = \frac{a}{{a + b}}\)

Do đó, \(NB = \frac{{{a^2}}}{{a + b}}\)

Lại có: MN//AC nên \(\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{AB}}\) , do đó \(MN = \frac{{AC.NB}}{{AB}} = \frac{{ab}}{{a + b}}\)

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.

Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{DC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) (tính chất đường phân giác)

Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) , do đó \(\frac{x}{y} = \frac{{3,5}}{{7,5}} = \frac{7}{{15}}\)

Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{3}{4}\)

Đáp án A: Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{3}{4}\)

Đáp án B, C không đúng.

Trong tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}}\)

Mà \(AB < AC\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} < 1\) do đó \(\frac{{BD}}{{DC}} < 1\) nên \(BD < DC\)

Xét tam giác EDF có EM là tia phân giác của góc FED nên \(\frac{{DM}}{{MF}} = \frac{{ED}}{{FE}}\) hay \(\frac{{3,5}}{{5,6}} = \frac{{4,5}}{x}\)

\(x = \frac{{4,5.5,6}}{{3,5}} = \frac{{36}}{5}\)

Vì \(AC = 2AB\) nên \(\frac{{AC}}{{AB}} = 2\)

Trong tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{DC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}} = 2\) nên \(BD = \frac{1}{2}DC\)

Vì hai tam giác ADC và ADB có cùng đường cao xuất phát từ đỉnh A xuống BC.

Do đó, \(\frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{BD}}{{DC}}\)

Trong tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}\)

Vậy \(\frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{3}{4}\)

Xét tam giác ABC có BE là đường phân giác của góc ABC nên \(\frac{{EC}}{{EA}} = \frac{{BC}}{{BA}}\) (1)

Xét tam giác ABM có DB là đường phân giác của góc ABM nên \(\frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{BM}}{{BA}}\) (2)

Mà M là trung điểm của BC nên \(BM = MC = \frac{1}{2}BC \Rightarrow \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BC}}{{2.BA}}\)

Nên \(2\frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{BA}}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\frac{{EC}}{{EA}} = 2\frac{{DM}}{{DA}}\) .

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = 16\) nên \(AC = 3cm\)

Trong tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{3}\)

Ta có: \(CD = BC - CD = 6cm\)

Tam giác ABC có AD là phân giác của góc BAC nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Kẻ DE vuông góc với AC tại E, khi đó DE là khoảng cách từ D đến AC

Lại có: AB vuông góc với AC nên DE//AB

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 25\) nên \(BC = 5cm\)

Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\) nên \(BD = \frac{3}{4}DC\)

Ta có: \(BD + DC = BC\)

\(\frac{3}{4}DC + DC = 5\) nên \(DC = \frac{{20}}{7}cm\)

Tam giác ABC có DE//AB nên theo hệ quả của định lý Thalès ta có:

\(\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}\) hay \(\frac{{DE}}{3} = \frac{{\frac{{20}}{7}}}{5} = \frac{4}{7}\) nên \(DE = \frac{4}{7}.3 = \frac{{12}}{7}\left( {cm} \right)\)

Vì AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\widehat {DAE} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = {45^0}\)

Mà tam giác DAE vuông tại E nên tam giác DAE vuông cân tại E. Do đó, \(DE = AE = \frac{{12}}{7}cm\)

Tam giác BCZ vuông tại C nên theo định lý Pytago ta có:

\(BZ = \sqrt {B{C^2} + C{Z^2}} = 10\)

Trong tam giác BCZ có BU là đường phân giác của góc CBZ nên \(\frac{{UC}}{{UZ}} = \frac{{BC}}{{BZ}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}\)

Do đó, \(\frac{{UC}}{4} = \frac{{UZ}}{5}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{UC}}{4} = \frac{{UZ}}{5} = \frac{{UC + UZ}}{{4 + 5}} = \frac{{CZ}}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) nên \(UC = 4.\frac{2}{3} = \frac{8}{3}\)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 625\) nên \(BC = 25cm\)

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\) nên \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{15.20}}{{25}} = 12\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AHB vuông tại H có: \(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\)

\(H{B^2} = A{B^2} - A{H^2} = 81\) nên \(HB = 9cm\) , do đó, \(HC = BC - HB = 16\left( {cm} \right)\)

Vì AD là đường phân giác của góc BAH trong tam giác ABH nên

\(\frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{BD}}{{DH}} = \frac{{BH - DH}}{{DH}}\) nên \(\frac{{15}}{{12}} = \frac{{9 - DH}}{{DH}}\)

\(15DH = 108 - 12DH\) nên \(DH = 4cm\)

Vì tam giác ABC cân tại A nên \(AB = AC = 15cm\)

Xét tam giác ABC có BD là đường phân giác của góc ABC nên \(\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\) , do đó \(\frac{{AD}}{{AD + DC}} = \frac{{AB}}{{BC + AB}}\) hay \(\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{BC + AB}}\) , do đó \(\frac{{AD}}{{15}} = \frac{{15}}{{15 + 10}}\)

Suy ra: \(AD = \frac{{15.15}}{{25}} = 9\left( {cm} \right)\)

Vì BD, CE là các đường phân giác trong tam giác ABC nên: \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{1}{2};\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{3}{4}\)

Do đó \(\frac{{AB}}{2} = \frac{{BC}}{4} = \frac{{AC}}{3}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AB}}{2} = \frac{{BC}}{4} = \frac{{AC}}{3} = \frac{{AB + BC + AC}}{{2 + 4 + 3}} = \frac{{27}}{9} = 3\)

Do đó, \(AB = 6cm,BC = 12cm,AC = 9cm\)

Vì tam giác ADM và tam giác ABC có chung chiều cao kẻ từ A đến BC nên \(\frac{{{S_{ADM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{DM}}{{BC}} \Rightarrow {S_{ADM}} = \frac{{DM}}{{BC}}.{S_{ABC}}\)

Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên: \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{CA}} = \frac{m}{n} \Rightarrow DB = mt,DC = nt\) (với \(t > 0\) )

Do đó, \(BC = DC + BD = \left( {m + n} \right)t\) , suy ra \(BM = \frac{1}{2}BC = \frac{{\left( {m + n} \right)t}}{2}\)

Ta có: \(DM = BM - DB = \frac{{\left( {m + n} \right)t - 2mt}}{2} = \frac{{\left( {n - m} \right)t}}{2}\)

Suy ra: \(\frac{{DM}}{{BC}} = \frac{{\frac{{\left( {n - m} \right)t}}{2}}}{{\left( {m + n} \right)t}} = \frac{{n - m}}{{2\left( {m + n} \right)}}\)

Vậy \({S_{AMD}} = \frac{{n - m}}{{2\left( {m + n} \right)}}S{ _{ABC}}\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}.\)

Vì BE và DF lần lượt là phân giác của góc ABC và góc ADC nên \(\widehat {ADF} = \widehat {CBE}\)

Mặt khác, ta có: \(AD = CB = b,\widehat {DAF} = \widehat {BCE}\) (so le trong)

Suy ra: \(\Delta ADF = \Delta CBE\left( {g.c.g} \right)\) nên \(AF = CE\)

Đặt \(AF = CE = x\)

Xét tam giác ABC có BE là đường phân giác của góc ABC nên

\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{CE}} = \frac{{FA + FE}}{{CE}} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{{x + m}}{x} \Rightarrow x = \frac{{mb}}{{a - b}}\)

\(AC = 2x + m = \frac{{2mb}}{{a - b}} + m = \frac{{m\left( {a + b} \right)}}{{a - b}} = \frac{{3,45\left( {12,5 + 7,25} \right)}}{{12,5 - 7,25}} \approx 12,98cm\)

Tam giác ABC có BD là đường phân giác của góc ABC nên \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow AD = \frac{2}{3}DC\)

Lại có: \(AC = DC + AD = \frac{2}{3}DC + DC = \frac{5}{3}DC \Rightarrow \frac{5}{3}DC = 5 \Rightarrow DC = 3cm \Rightarrow AD = 2cm\)

Vì tam giác DAE và tam giác CAE có chung đường cao kẻ từ E đến AC nên \(\frac{{{S_{DAE}}}}{{{S_{ACE}}}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{2}{5}\left( 1 \right)\)

Vì tam giác ACE và tam giác CAB có chung đường cao kẻ từ C đến AB nên \(\frac{{{S_{ACE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AE}}{{AB}}\left( 2 \right)\)

Tam giác ABC có CE là đường phân giác của góc ACB nên:

\(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{EB}}{{BC}}\) hay \(\frac{{AE}}{5} = \frac{{EB}}{6}\) Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AE}}{5} = \frac{{EB}}{6} = \frac{{AE + EB}}{{5 + 6}} = \frac{{AB}}{{11}} = \frac{4}{{11}}\)

Suy ra: \(AE = \frac{4}{{11}}.5 = \frac{{20}}{{11}} \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{5}{{11}}\left( 3 \right)\)

Thay (3) vào (2) ta có: \(\frac{{{S_{ACE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{5}{{11}}\left( 4 \right)\)

Nhân vế với vế của (1) và (4) ta có: \(\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{2}{5}.\frac{5}{{11}} = \frac{2}{{11}}\)

Kẻ DI//BK thì DI//EK

Áp dụng định lý Thalès vào tam giác AID và tam giác BKC ta được: \(\frac{{AK}}{{KI}} = \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{3}{2}\) \( \Rightarrow AK = \frac{{3KI}}{2}\left( 1 \right);\frac{{CK}}{{KI}} = \frac{{CB}}{{BD}}\left( 2 \right)\)

Tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{CA}}{{AB}}\) hay \(\frac{{CD}}{{DB}} = \frac{{12}}{8} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{CD}}{3} = \frac{{DB}}{2}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{CD}}{3} = \frac{{DB}}{2} = \frac{{CD + DB}}{{2 + 3}} = \frac{{BC}}{5} \Rightarrow \frac{{CB}}{{DB}} = \frac{5}{2}\left( 3 \right)\)

Thay (3) vào (2) ta có: \(\frac{{CK}}{{KI}} = \frac{5}{2} \Rightarrow CK = \frac{5}{2}KI\left( 4 \right)\)

Chia theo vế các đẳng thức của (1) và (4) ta được: \(\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{3KI}}{2}:\frac{{5KI}}{2} = \frac{3}{5}\)

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD và BI vào các tam giác ABC, ABD ta được: \(\frac{{DI}}{{IA}} = \frac{{DB}}{{BA}} = \frac{{DB}}{c}\left( 1 \right)\)

\(\frac{{DB}}{{BA}} = \frac{{DC}}{{CA}}\) hay \(\frac{{DB}}{c} = \frac{{DC}}{b}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{DB}}{c} = \frac{{DC}}{b} = \frac{{DB + DC}}{{c + b}} = \frac{{BC}}{{b + c}} \Rightarrow DB = \frac{{ca}}{{b + c}}\left( 2 \right)\)

Thay (2) vào (1) ta được: \(\frac{{DI}}{{IA}} = \frac{{ca}}{{c\left( {b + c} \right)}} = \frac{a}{{b + c}}\)

Suy ra: \(\frac{{DI}}{a} = \frac{{IA}}{{b + c}} = \frac{{DI + IA}}{{a + b + c}} = \frac{{AD}}{{a + b + c}} \Rightarrow \frac{{DI}}{{AD}} = \frac{a}{{a + b + c}}\left( 3 \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{{EI}}{{EB}} = \frac{b}{{a + b + c}},\frac{{FI}}{{FC}} = \frac{c}{{a + b + c}}\left( 5 \right)\)

Cộng theo vế của (3), (4), (5) ta có: \(\frac{{DI}}{{DA}} + \frac{{EI}}{{EB}} + \frac{{FI}}{{FC}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1\)

Ta có: \(HF = GF - GH = 20 - x\)

Xét tam giác GEF có EH là đường phân giác của góc GEF nên

\(\frac{{GH}}{{HF}} = \frac{{EG}}{{FE}}\) hay \(\frac{x}{{20 - x}} = \frac{{18}}{{12}}\)

\(12x = 18\left( {20 - x} \right)\)

\(12x = 360 - 18x\)

\(30x = 360\)

\(x = 12\)

Trong tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) nên \(\frac{{DB}}{1} = \frac{{DC}}{2}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{DB}}{1} = \frac{{DC}}{2} = \frac{{DB + DC}}{{1 + 2}} = \frac{{BC}}{3} = \frac{3}{3} = 1\)

Do đó, \(DB = 1\)

Xét tam giác ABD có BI là đường phân giác của góc ABD nên \(\frac{{ID}}{{IA}} = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{1}{2}\)

Xét tam giác ABC có:

AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

BE là đường phân giác của góc ABC nên \(\frac{{EC}}{{EA}} = \frac{{BC}}{{AB}}\)

CF là đường phân giác của góc BCA nên \(\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{AC}}{{BC}}\)

Do đó, \(\frac{{DB}}{{DC}}.\frac{{EC}}{{EA}}.\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\frac{{BC}}{{AB}}.\frac{{AC}}{{BC}} = 1\)

Xét tam giác AMB có MD là đường phân giác của góc AMB nên \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}\)

Xét tam giác AMC có ME là đường phân giác của góc AMC nên \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{MA}}{{MC}}\)

Mà \(MB = MC\) nên \(\frac{{MA}}{{AB}} = \frac{{MA}}{{MC}}\) nên \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}\) , do đó DE//BC (định lý Thalès đảo)

Áp dụng hệ quả của định lý Thalès vào hai tam giác ABM và ACM có:

\(\frac{{ID}}{{MB}} = \frac{{IA}}{{AM}}\) và \(\frac{{IE}}{{MC}} = \frac{{AI}}{{AM}}\) , do đó, \(\frac{{ID}}{{MB}} = \frac{{IE}}{{MC}}\)

Mà \(MB = MC\) nên \(DI = IE\)

Xét tam giác ABC có AM là đường phân giác góc BAC nên \(\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{a}{b}\)

Xét tam giác ABC có CN là đường phân giác góc BCA nên \(\frac{{NB}}{{NA}} = \frac{{CB}}{{AC}} = \frac{a}{b}\)

Do đó, \(\frac{{NB}}{{NA}} = \frac{{MB}}{{MC}}\) nên MN//AC (định lý Thalès đảo)

Ta có: \(\frac{{NB}}{{NA}} = \frac{{CB}}{{AC}} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{{NB}}{{NB + NA}} = \frac{a}{{a + b}}\) hay \(\frac{{NB}}{{AB}} = \frac{a}{{a + b}}\)

Do đó, \(NB = \frac{{{a^2}}}{{a + b}}\)

Lại có: MN//AC nên \(\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{AB}}\) , do đó \(MN = \frac{{AC.NB}}{{AB}} = \frac{{ab}}{{a + b}}\)