Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm - SGK Toán 11 - Cánh diều

Bài 1 trong chương VII Đạo hàm của SGK Toán 11 Cánh diều tập 2 giới thiệu khái niệm đạo hàm, một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng nhất trong giải tích. Bài học này tập trung vào việc định nghĩa đạo hàm của một hàm số tại một điểm và ý nghĩa hình học của đạo hàm, đó là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm đó.

1. Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀), được định nghĩa là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0, nếu giới hạn này tồn tại.

Công thức:

f'(x₀) = lim_Δx→0 [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

Trong đó:

• f(x) là hàm số cần tính đạo hàm
• x₀ là điểm cần tính đạo hàm
• Δx là độ biến thiên của đối số

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm f'(x₀) của hàm số f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x₀.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm (x₀, f(x₀)) có phương trình:

y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)

3. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x². Ta sẽ tính đạo hàm của f(x) tại điểm x = 2.

f'(2) = lim_Δx→0 [(2 + Δx)² - 2²] / Δx

f'(2) = lim_Δx→0 [4 + 4Δx + (Δx)² - 4] / Δx

f'(2) = lim_Δx→0 [4Δx + (Δx)²] / Δx

f'(2) = lim_Δx→0 [4 + Δx] = 4

Vậy, đạo hàm của f(x) = x² tại x = 2 là 4. Điều này có nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại điểm (2, 4) là 4.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x + 2 tại điểm x = 1.

Bài 2: Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ tại điểm có hoành độ x = -1.

Bài 3: Cho hàm số f(x) = sin(x). Tính f'(0).

5. Lưu ý quan trọng

Không phải hàm số nào cũng có đạo hàm tại mọi điểm. Hàm số có đạo hàm tại một điểm khi và chỉ khi giới hạn trong định nghĩa đạo hàm tồn tại.

Đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết nhiều bài toán trong toán học và các lĩnh vực khoa học khác. Việc nắm vững khái niệm đạo hàm và ý nghĩa hình học của nó là rất quan trọng.

6. Kết luận

Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về đạo hàm. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, các em sẽ có thể tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm trong chương trình Toán 11.