Bài 1. Phương trình mặt phẳng

Bài 1. Phương trình mặt phẳng - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài 1 trong chương 5 của sách Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc xây dựng và hiểu rõ phương trình mặt phẳng trong không gian. Đây là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian, đặc biệt là trong chương trình học Toán 12.

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Một mặt phẳng trong không gian được xác định duy nhất bởi một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng. Nếu là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và M(x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc mặt phẳng, thì phương trình của mặt phẳng có dạng:

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

2. Các dạng phương trình mặt phẳng

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A, B, C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Phương trình tham số của mặt phẳng:
  • x = x₀ + at + bu
  • y = y₀ + bt + au
  • z = z₀ + ct + du
  Trong đó (a, b, c) và (u, v, d) là hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng.

3. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến = (1, -1, 2)

Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng:

1(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 3) = 0

=> x - 1 - y + 2 + 2z - 6 = 0

=> x - y + 2z - 5 = 0

Ví dụ 2: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)

Bước 1: Tìm hai vectơ nằm trong mặt phẳng, ví dụ = AB = (-1, 1, 0) và = AC = (-1, 0, 1).

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến bằng cách lấy tích có hướng của và : x = (1, 1, 1).

Bước 3: Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng, sử dụng điểm A(1, 0, 0) và vectơ pháp tuyến (1, 1, 1):

1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0

=> x - 1 + y + z = 0

=> x + y + z - 1 = 0

4. Lưu ý quan trọng

• Kiểm tra lại các phép tính vectơ, đặc biệt là tích có hướng.
• Đảm bảo rằng vectơ pháp tuyến tìm được là đúng.
• Hiểu rõ các dạng phương trình mặt phẳng và cách chuyển đổi giữa chúng.

5. Bài tập luyện tập

1. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2, -1, 3) và có vectơ pháp tuyến = (3, -2, 1).
2. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm P(1, 1, 1), Q(2, 3, 4), R(0, -1, 2).
3. Viết phương trình tham số của mặt phẳng đi qua điểm N(1, 2, 3) và song song với hai vectơ = (1, 0, -1) và = (0, 1, 1).

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, các em sẽ nắm vững nội dung Bài 1. Phương trình mặt phẳng - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!