Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết Phương trình mặt phẳng trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo tại loigiai.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng, công thức và các ví dụ minh họa để bạn hiểu rõ về phương trình mặt phẳng trong không gian.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập hiệu quả và thú vị với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm và phương pháp giảng dạy hiện đại.
1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng Vecto pháp tuyến
1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
Vecto pháp tuyến
| Vecto \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\). |
Cặp vecto chỉ phương
| Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Nếu hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong \(\left( \alpha \right)\) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) được gọi là cặp vecto chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\). |
Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
a) Tìm một cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (ABCD).
b) Tìm một cặp vecto pháp
tuyến của mặt phẳng (ABCD).
Giải:
a) Vì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \) không cùng phương và có giá nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AD} \) là một cặp vecto pháp tuyến của (ABCD).
b) Vì \(AA'\)\( \bot \)(ABCD) nên \(\overrightarrow {AA'} \) là một vecto pháp tuyến của (ABCD).
2. Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vecto chỉ phương
Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhận hai vecto \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\) làm cặp vecto chỉ phương thì \(\left( \alpha \right)\) nhận vecto \(\overrightarrow n = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\) làm vecto pháp tuyến. |
Vecto \(\overrightarrow n = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\) còn được gọi là tích có hướng của hai vecto \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\).
Biểu thức \({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}\) thường được kí hiệu là \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\).
Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = 0\).
Ví dụ: Cho mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow a = (1;2;3)\), \(\overrightarrow b = (4;1;5)\) làm cặp vecto chỉ phương. Tìm một vecto pháp tuyến của (P).
Giải: Ta có tích có hướng của hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) là
\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.5 - 3.1;3.4 - 1.5;1.1 - 2.4) = (7;7; - 7)\).
Do đó, mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{7}\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (1;1; - 1)\) làm một vecto pháp tuyến.
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng
| Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó. |
Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến.
Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó \(N({x_0};{y_0};{z_0}) \in (\alpha ) \Leftrightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).
Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình tổng quát là
(P): \(3x - 5y + 7z = 0\) và (Q): \(x + y - 2 = 0\).
a) Tìm một vecto pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (P), (Q).
b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng (P) trong số các điểm A(1;3;1), B(1;2;3).
Giải:
a) Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (3; - 5;7)\).
Mặt phẳng (Q) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (1;1;0)\).
b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.3 + 7.1 + 5 = 0.
Vậy A thuộc (P).
Thay tọa độ điểm B vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.2 + 7.3 + 5 = 19 \( \ne 0\).
Vậy B không thuộc (P).
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vecto pháp tuyến
Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) có phương trình là: \(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0\), với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\) |
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1;2;1)\).
Giải: Vì (P) đi qua điểm M(1;2;1) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1;2;1)\) nên phương trình của (P) là \(1\left( {x--1} \right) + 2\left( {y--2} \right) + 1\left( {z--3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 8 = 0\).
Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vecto chỉ phương
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau: - Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\). - Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \). |
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm N(4;0;1) và có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a = (1;2;1)\), \(\overrightarrow b = (2;1;3)\).
Giải: (P) có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a = (1;2;1)\), \(\overrightarrow b = (2;1;3)\), suy ra (P) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.3 - 1.1;1.2 - 1.3;1.1 - 2.2) = (5; - 1; - 3)\).
Phương trình của (P) là \(5(x - 4) - 1(y - 0) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z - 17 = 0\).
Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau: - Tìm cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \). - Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\). - Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \). |
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0).
Giải: (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0) nên có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = (0;1;1)\), \(\overrightarrow {AC} = (3;0; - 1)\), suy ra (P) có vecto pháp tuyến là
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (1.( - 1) - 1.0;1.3 - 0.( - 1);0.0 - 1.3) = ( - 1;3; - 3)\).
Phương trình của (P) là \( - 1(x - 1) + 3(y - 1) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 3z = 0\).
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
| Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c \( \ne \) 0 có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. |
4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc
Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0,\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,\) với hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\) tương ứng. Khi đó: \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.\) với k nào đó. |
Ví dụ: Mặt phẳng (P): \(4x + 3y + z + 5 = 0\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
a) (Q): \(8x + 6y + 2z + 9 = 0\);
b) (R): \(8x + 6y + 2z + 10 = 0\);
c) (S): \(4x + 2y + z + 5 = 0\).
Giải: Các mặt phẳng (P), (Q), (R), (S) có các vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = (4;3;1)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = (8;6;2)\), \(\overrightarrow {{n_3}} = (8;6;2)\), \(\overrightarrow {{n_4}} = (4;2;1)\).
a) Ta có \(\overrightarrow {{n_2}} = 2\overrightarrow {{n_1}} \), \(9 \ne 2.5\). Vậy (P)//(Q).
b) Ta có \(\overrightarrow {{n_3}} = 2\overrightarrow {{n_1}} \), \(10 \ne 2.5\). Vậy (P)\( \equiv \)(R).
c) Ta có \(\frac{4}{3} \ne \frac{3}{2}\) suy ra \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_4}} \) không cùng phương. Vậy (P) cắt (S).
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0,\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,\) với hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\) tương ứng. Khi đó: \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0\) |
Ví dụ: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) có phương trình là
(P): \(x - 4y + 3z + 2 = 0\), (Q): \(4x + y + 88 = 0\), (R): \(x + y + z + 9 = 0\). Chứng minh rằng (P) ⊥ (Q), (P) ⊥ (R).
Giải: Các mặt phẳng (P), (Q), (R) có vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 4;3)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = (4;1;0)\), \(\overrightarrow {{n_3}} = (1;1;1)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.4 + ( - 4).1 + 3.0 = 0\). Vậy (P) ⊥ (Q).
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_3}} = 1.1 + ( - 4).1 + 3.1 = 0\). Vậy (P) ⊥ (R).
5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là: \(d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) |
Ví dụ: Tìm khoảng cách từ điểm M(1;2;3) đến mặt phẳng (P): \(x + y + z + 12 = 0\).
Giải: \(d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 1.2 + 1.3 + 12} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{{\sqrt 3 }} = 6\sqrt 3 \).
Trong chương trình Hình học không gian lớp 12, phương trình mặt phẳng đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả vị trí và tính chất của các mặt phẳng trong không gian Oxyz. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập liên quan đến phương trình mặt phẳng là điều cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Một mặt phẳng trong không gian được xác định duy nhất bởi một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng.
Nếu n = (a; b; c) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), thì phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Trong đó, (x0; y0; z0) là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng (P).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0
Trong đó, (A; B; C) là tọa độ của vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (P).
Cho hai mặt phẳng (P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (P2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Góc φ giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2) được tính bởi công thức:
cos φ = |n1.n2| / (||n1|| . ||n2||)
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến n = (1; -2; 1).
Giải: Phương trình mặt phẳng có dạng: 1(x - 1) - 2(y - 2) + 1(z - 3) = 0 ⇔ x - 2y + z - 2 = 0
Ví dụ 2: Tìm góc giữa hai mặt phẳng (P1): x + y + z - 1 = 0 và (P2): x - y + z - 2 = 0.
Giải:n1 = (1; 1; 1), n2 = (1; -1; 1). n1.n2 = 1 - 1 + 1 = 1. ||n1|| = ||n2|| = √3. cos φ = |1| / (√3 . √3) = 1/3. φ ≈ 70.53°
Để củng cố kiến thức về phương trình mặt phẳng, bạn nên tự giải thêm nhiều bài tập khác nhau. loigiai.com.vn cung cấp một kho bài tập phong phú với các mức độ khó khác nhau để bạn luyện tập và nâng cao kỹ năng giải toán.
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
