Bài 24. Phép Chiếu Vuông Góc. Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Chào mừng các em học sinh đến với bài học Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thuộc chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về phép chiếu vuông góc và cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Tại loigiai.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập liên quan.

Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Giải Toán 11 Kết nối tri thức

I. Khái niệm phép chiếu vuông góc

Phép chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P) là điểm H sao cho AH vuông góc với (P). H được gọi là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Đường thẳng AH được gọi là đường vuông góc kẻ từ A đến (P).

II. Phép chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng

Phép chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P) là tập hợp các điểm là hình chiếu vuông góc của các điểm trên d lên (P). Nếu d vuông góc với (P) thì phép chiếu của d lên (P) là một điểm.

III. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P). Góc này được tính bằng công thức:

sin(α) = d(A, (P)) / AD

Trong đó:

α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
A là một điểm bất kỳ trên đường thẳng d
d(A, (P)) là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)
AD là độ dài đoạn thẳng nối A với hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P)

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.
Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC. Do đó, tam giác SAC vuông tại A.
Trong tam giác SAC, ta có: tan(∠SCA) = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2. Suy ra ∠SCA ≈ 35.26°.
Vậy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 35.26°.

Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = b, AA' = c. Tính góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

Gọi K là hình chiếu vuông góc của C' lên mặt phẳng (ABCD). Khi đó, K trùng với C.
Tam giác ACC' vuông tại C.
Trong tam giác ACC', ta có: AC = √(AB² + BC²) = √(a² + b²).
sin(∠AC'C) = AC/AC' = √(a² + b²)/√(a² + b² + c²).
Vậy, góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD) là arcsin(√(a² + b²)/√(a² + b² + c²))).

V. Luyện tập

Để củng cố kiến thức về phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, các em hãy làm thêm các bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác. Loigiai.com.vn sẽ cung cấp đầy đủ lời giải chi tiết cho các bài tập này.

VI. Kết luận

Bài học Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!