Bài 3. Cấp số nhân

Bài 3. Cấp số nhân - SBT Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 3 trong sách bài tập Toán 11 Cánh diều tập trung vào việc củng cố kiến thức về cấp số nhân, bao gồm các công thức tính số hạng tổng quát, tổng của n số hạng đầu tiên và các ứng dụng thực tế. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số và cấp số nhân trong chương trình học.

I. Lý thuyết cần nắm vững

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số khái niệm và công thức quan trọng về cấp số nhân:

• Định nghĩa: Cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước nó với một số không đổi gọi là công bội (q).
• Công thức tổng quát: u_n = u₁ * q^n-1, trong đó u₁ là số hạng đầu tiên, q là công bội, n là số thứ tự của số hạng.
• Tổng của n số hạng đầu tiên: S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1).

II. Giải bài tập SBT Toán 11 Cánh diều - Bài 3

Dưới đây là phần giải chi tiết các bài tập trong sách bài tập Toán 11 Cánh diều - Bài 3. Cấp số nhân. Chúng tôi sẽ trình bày lời giải từng bước một, kèm theo các giải thích rõ ràng để giúp các em hiểu rõ phương pháp giải.

Bài 1: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân

Ví dụ: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Hãy tìm số hạng tổng quát u_n.

Lời giải:

Áp dụng công thức u_n = u₁ * q^n-1, ta có:

u_n = 2 * 3^n-1

Bài 2: Tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Ví dụ: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 2. Hãy tính tổng của 5 số hạng đầu tiên S₅.

Lời giải:

Áp dụng công thức S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q), ta có:

S₅ = 1 * (1 - 2⁵) / (1 - 2) = (1 - 32) / (-1) = 31

Bài 3: Ứng dụng của cấp số nhân

Ví dụ: Một người gửi tiết kiệm ngân hàng với số tiền ban đầu là 10 triệu đồng, lãi suất 0.5% mỗi tháng. Hỏi sau 12 tháng, người đó có bao nhiêu tiền?

Lời giải:

Đây là một bài toán ứng dụng của cấp số nhân. Số tiền sau mỗi tháng sẽ là số tiền trước đó cộng với lãi suất. Ta có:

u₁ = 10000000

q = 1 + 0.005 = 1.005

n = 12

S₁₂ = 10000000 * (1 - 1.005¹²) / (1 - 1.005) ≈ 10616778.12

Vậy sau 12 tháng, người đó có khoảng 10,616,778.12 đồng.

III. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức về cấp số nhân, các em có thể tự giải thêm các bài tập sau:

• Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = 2.
• Tính tổng của 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q = -1.
• Một hình vuông có cạnh bằng 1. Người ta nối trung điểm các cạnh của hình vuông để tạo thành một hình vuông mới. Tiếp tục quá trình này vô hạn. Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo ra.

IV. Kết luận

Bài 3. Cấp số nhân - SBT Toán 11 - Cánh diều là một bài học quan trọng giúp các em hiểu rõ về cấp số nhân và các ứng dụng của nó. Hy vọng với lời giải chi tiết và các bài tập luyện tập, các em sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán liên quan.