Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp ta xác định được hành vi của đồ thị hàm số khi x hoặc y tiến tới vô cùng, từ đó vẽ được đồ thị chính xác hơn.

I. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị hàm số tiếp cận khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

• Đường tiệm cận ngang: y = y₀ nếu lim_x→±∞ f(x) = y₀
• Đường tiệm cận đứng: x = x₀ nếu lim_x→x0⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→x0^- f(x) = ±∞
• Đường tiệm cận xiên: y = ax + b (với a ≠ 0) nếu lim_x→±∞ [f(x) - (ax + b)] = 0

II. Phương pháp tìm đường tiệm cận

1. Tìm đường tiệm cận ngang: Tính lim_x→±∞ f(x). Nếu giới hạn này hữu hạn, thì y = lim_x→±∞ f(x) là đường tiệm cận ngang.
2. Tìm đường tiệm cận đứng: Tìm các giá trị x₀ sao cho mẫu số của hàm số bằng 0 và tử số khác 0. Khi đó, x = x₀ là đường tiệm cận đứng.
3. Tìm đường tiệm cận xiên:
   • Tính a = lim_x→±∞ f(x)/x
   • Tính b = lim_x→±∞ [f(x) - ax]
   • Nếu a ≠ 0, thì y = ax + b là đường tiệm cận xiên.

III. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1)

• Đường tiệm cận ngang: lim_x→±∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2. Vậy y = 2 là đường tiệm cận ngang.
• Đường tiệm cận đứng: x - 1 = 0 => x = 1. Vậy x = 1 là đường tiệm cận đứng.
• Đường tiệm cận xiên: Không có đường tiệm cận xiên vì a = 0.

IV. Bài tập áp dụng

Tìm đường tiệm cận của các hàm số sau:

• y = (x - 3) / (x + 2)
• y = (x² + 1) / (x - 1)
• y = (2x² + 3x - 2) / (x² - 4)

V. Lưu ý quan trọng

Khi tìm đường tiệm cận, cần chú ý đến điều kiện xác định của hàm số. Đường tiệm cận đứng không thể nằm trong tập xác định của hàm số.

Việc nắm vững kiến thức về đường tiệm cận là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.