Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - Giải chi tiết SGK Toán 12

Bài 3 trong chương 4 Toán 12 tập 2 tập trung vào việc ứng dụng tích phân để giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích hình phẳng. Đây là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia. Để nắm vững nội dung này, chúng ta cần hiểu rõ các khái niệm và phương pháp sau:

1. Diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b) được tính bằng công thức:

S = ∫_a^b |f(x)| dx

Trong đó:

• f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b]
• ∫_a^b |f(x)| dx là tích phân xác định của hàm số |f(x)| từ a đến b

2. Các trường hợp đặc biệt

1. Nếu f(x) ≥ 0 trên [a, b] thì S = ∫_a^b f(x) dx
2. Nếu f(x) ≤ 0 trên [a, b] thì S = -∫_a^b f(x) dx
3. Nếu f(x) đổi dấu trên [a, b], ta cần chia đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ hơn, trên mỗi đoạn f(x) không đổi dấu, rồi tính diện tích trên từng đoạn và cộng lại.

3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x) (với f(x) ≥ g(x) trên [a, b]) được tính bằng công thức:

S = ∫_a^b [f(x) - g(x)] dx

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 2.

Giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

S = ∫_-1² x² dx = [x³/3]_-1² = (8/3) - (-1/3) = 3

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x³ và đường thẳng y = x.

Giải:

Trước hết, ta tìm giao điểm của hai đường cong:

x³ = x ⇔ x³ - x = 0 ⇔ x(x² - 1) = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = -1

Trên đoạn [-1, 0], x³ ≥ x, do đó diện tích hình phẳng trên đoạn này là:

S₁ = ∫_-1⁰ (x³ - x) dx = [x⁴/4 - x²/2]_-1⁰ = 0 - (1/4 - 1/2) = 1/4

Trên đoạn [0, 1], x ≥ x³, do đó diện tích hình phẳng trên đoạn này là:

S₂ = ∫₀¹ (x - x³) dx = [x²/2 - x⁴/4]₀¹ = (1/2 - 1/4) - 0 = 1/4

Vậy diện tích hình phẳng cần tính là: S = S₁ + S₂ = 1/4 + 1/4 = 1/2

5. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau trong SGK Toán 12 tập 2:

• Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Loigiai.com.vn hy vọng với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về ứng dụng hình học của tích phân và tự tin giải quyết các bài tập liên quan. Chúc các em học tập tốt!