Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - Giải Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

I. Lý thuyết cơ bản

Trong lý thuyết xác suất, hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập được phát biểu như sau:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Trong đó:

• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố A và B đồng thời xảy ra.
• P(A) là xác suất của biến cố A.
• P(B) là xác suất của biến cố B.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy được màu đỏ” và B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy được màu đỏ”.

Ta có:

• P(A) = 5/8 (xác suất lấy được quả bóng đỏ ở lần lấy thứ nhất)
• P(B|A) = 4/7 (xác suất lấy được quả bóng đỏ ở lần lấy thứ hai, biết rằng quả bóng thứ nhất đã lấy được màu đỏ)

Vì A và B là hai biến cố độc lập (việc lấy quả bóng thứ nhất không ảnh hưởng đến việc lấy quả bóng thứ hai), nên:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc 6 mặt hai lần. Tính xác suất để cả hai lần đều xuất hiện mặt 6.

Giải:

Gọi A là biến cố “lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt 6” và B là biến cố “lần gieo thứ hai xuất hiện mặt 6”.

Ta có:

• P(A) = 1/6 (xác suất xuất hiện mặt 6 ở lần gieo thứ nhất)
• P(B) = 1/6 (xác suất xuất hiện mặt 6 ở lần gieo thứ hai)

Vì A và B là hai biến cố độc lập, nên:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/6) * (1/6) = 1/36

III. Bài tập áp dụng

1. Một đồng xu được gieo 3 lần. Tính xác suất để cả 3 lần đều xuất hiện mặt sấp.
2. Hai người độc lập nhau bắn vào một mục tiêu. Người thứ nhất có xác suất bắn trúng là 0.8, người thứ hai có xác suất bắn trúng là 0.7. Tính xác suất để cả hai người đều bắn trúng mục tiêu.
3. Một hộp chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đen.

IV. Lưu ý quan trọng

Để áp dụng công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, cần đảm bảo rằng hai biến cố đó thực sự độc lập với nhau. Nếu hai biến cố không độc lập, ta cần sử dụng công thức nhân xác suất có điều kiện: P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A).

Việc hiểu rõ lý thuyết và thực hành giải nhiều bài tập sẽ giúp các em nắm vững kiến thức về công thức nhân xác suất và áp dụng nó một cách hiệu quả trong các bài toán thực tế.