Bài 4. Phép Quay Và Phép Đối Xứng Tâm

Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm - SGK Toán 11 Nâng cao

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm - SGK Toán 11 Nâng cao. Bài học này thuộc chương I: Phép dời hình và đồng dạng trong mặt phẳng, là nền tảng quan trọng trong chương trình Hình học 11 nâng cao.

Loigiai.com.vn tự hào mang đến cho các em những giải pháp học tập hiệu quả, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập khó.

Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm - SGK Toán 11 Nâng cao

I. Giới thiệu chung về phép quay

Phép quay là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các tính chất đối xứng của hình. Phép quay biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho khoảng cách từ M đến tâm quay O bằng khoảng cách từ M' đến tâm quay O, và góc quay (OM, OM') là một góc định trước.

1. Định nghĩa:

Phép quay tâm O với góc α (α đo theo độ, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho:

OM = OM'
Góc (OM, OM') = α

Kí hiệu: Q_{(O, α)}(M) = M'

2. Tính chất của phép quay:

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.
Biến một tam giác thành một tam giác bằng nhau.

II. Giới thiệu chung về phép đối xứng tâm

Phép đối xứng tâm là một phép biến hình đặc biệt, biến mỗi điểm thành điểm đối xứng của nó qua một điểm cố định gọi là tâm đối xứng.

1. Định nghĩa:

Phép đối xứng tâm I là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM'.

Kí hiệu: Đ_I(M) = M'

2. Tính chất của phép đối xứng tâm:

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.
Biến một tam giác thành một tam giác bằng nhau.

III. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm A với góc 60 độ.

Giải: Gọi B', C' lần lượt là ảnh của B và C qua phép quay tâm A với góc 60 độ. Khi đó, tam giác ABC biến thành tam giác AB'C'.

Bài 2: Cho điểm M(2, 3) và điểm I(1, 1). Tìm tọa độ điểm M' là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I.

Giải: Vì I là trung điểm của MM', ta có:

x_I = (x_M + x_M') / 2 => 1 = (2 + x_M') / 2 => x_M' = 0

y_I = (y_M + y_M') / 2 => 1 = (3 + y_M') / 2 => y_M' = -1

Vậy M'(0, -1).

IV. Mở rộng và nâng cao

Phép quay và phép đối xứng tâm là hai phép biến hình cơ bản, thường được sử dụng để giải quyết các bài toán về đối xứng, tìm quỹ tích, chứng minh tính chất hình học. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và ứng dụng của hai phép biến hình này là rất quan trọng đối với học sinh lớp 11.

Các em có thể tìm hiểu thêm về các phép biến hình khác như phép tịnh tiến, phép vị tự để có cái nhìn toàn diện hơn về chương trình Hình học 11 nâng cao.

Loigiai.com.vn hy vọng rằng với lời giải chi tiết và những kiến thức bổ ích trên, các em sẽ học tập tốt môn Toán 11 nâng cao và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi.