Bài 5: Phép chiếu song song

Bài 5: Phép chiếu song song - SGK Toán 11 Nâng cao

1. Định nghĩa phép chiếu song song

Phép chiếu song song lên một mặt phẳng (P) theo phương l là một phép biến hình (f) biến mỗi điểm M trong không gian thành điểm M’ trên (P) sao cho M’ nằm trên đường thẳng đi qua M và song song với l.

l được gọi là phương chiếu, (P) được gọi là mặt phẳng chiếu.

2. Tính chất của phép chiếu song song

• Phép chiếu song song bảo toàn thứ tự các điểm trên một đường thẳng.
• Phép chiếu song song bảo toàn tỷ số của các đoạn thẳng nằm trên một đường thẳng.
• Phép chiếu song song biến một đường thẳng song song với phương chiếu thành một điểm trên mặt phẳng chiếu.
• Phép chiếu song song biến một đường thẳng cắt phương chiếu thành một đường thẳng trên mặt phẳng chiếu.

3. Ứng dụng của phép chiếu song song

Phép chiếu song song có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong lĩnh vực bản vẽ kỹ thuật và hình học không gian. Ví dụ, khi vẽ một hình hộp chữ nhật trên mặt phẳng, ta sử dụng phép chiếu song song để biểu diễn hình dạng và kích thước của hình hộp một cách chính xác.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với AC. Do đó, tam giác SAC vuông tại A. Ta có AC = a√2, SA = a. Suy ra tan góc SCA = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2. Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc SCA và bằng arctan(1/√2).

Bài 2: Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. Trên d lấy hai điểm A và B, trên d’ lấy hai điểm A’ và B’. Chứng minh rằng AB // A’B’.

Lời giải:

Vì d // d’ nên mặt phẳng (d, AB) song song với mặt phẳng (d’, A’B’). Do đó, AB // A’B’.

5. Các dạng bài tập thường gặp

• Xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng, một mặt phẳng qua phép chiếu song song.
• Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc trong không gian bằng cách sử dụng phép chiếu song song.
• Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép chiếu song song, các em nên làm thêm nhiều bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo. Đồng thời, các em cũng nên xem lại các định nghĩa, tính chất và phương pháp giải bài tập liên quan.

7. Kết luận

Bài 5: Phép chiếu song song là một bài học quan trọng trong chương trình Hình học lớp 11 nâng cao. Việc nắm vững kiến thức về phép chiếu song song sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ song song trong không gian một cách dễ dàng và hiệu quả.

Loigiai.com.vn hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các bài tập ví dụ minh họa, các em sẽ học tốt môn Toán 11 nâng cao và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.