Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 2

Đường thẳng \(d\) có phương trình \(y = - kx + b\,\,\left( {k \ne 0} \right)\) có \( - k\) là hệ số góc.

Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số bậc \(2:y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\):

Khi \(a > 0\) thì bề lõm quay lên trên (tức là hàm số đồng biến khi \(x > 0\) và nghịch biến khi \(x < 0\)).

Khi \(a < 0\) thì bề lõm quay xuống dưới (tức là hàm số đồng biến khi \(x < 0\) và nghịch biến khi \(x > 0\))

Hàm số đồng biến khi \(x < 0\) thì \(1 - \sqrt {m - 1} < 0 \Rightarrow m > 2\)

Sử dụng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Vì \(OA\) là tiếp tuyến của \(\left( {O'} \right)\) nên \(\Delta OAO'\) vuông tại \(A\).

Vì \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại \(A,B\) nên đường nối tâm \(OO'\) là trung trực của đoạn \(AB\).

Gọi giao điểm của \(AB\) và \(OO'\) là \(I\) thì \(AB \bot OO'\) tại \(I\) là trung điểm của \(AB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OAO'\) ta có

\(\dfrac{1}{{A{I^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O'{A^2}}} = \dfrac{1}{{{6^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} \Rightarrow AI = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5}\,cm \Rightarrow AB = \dfrac{{6\sqrt {10} }}{5}\,cm\)

Sử dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại A để tính độ dài cạnh BC.

Theo đề bài ta có AM, AN lần lượt là các đường phân giác trong và ngoài của góc B.

Khi đó áp dụng tính chất tia phân giác của một góc ta có: \(\dfrac{{AM}}{{MC}} = \dfrac{{AN}}{{NC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}.\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \Rightarrow BC = 10\left( {cm} \right)\)

Vì \(BM\) là tia phân giác trong của góc \(B \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}\) (Tính chất đường phân giác) 

\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC + MA}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}} \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{8} = \dfrac{6}{{10 + 6}} \Rightarrow MA = 3cm\)

Vì \(BM;BN\) là tia phân giác trong và ngoài của góc \(B \Rightarrow \angle NBM = {90^0}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABM\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BA\) ta có:

\( \Rightarrow A{B^2} = AM.AN\)\( \Leftrightarrow {6^2} = 3.AN \Leftrightarrow AN = 12\left( {cm} \right)\)

Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ để tính chiều cao hình trụ

\(S_{tp}=S_{xq}+S_{2\,đáy}=2\pi.R.h+2 \pi R^2\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

\(24\pi h + 2\pi {.12^2} = 672\pi \)

Suy ra \(h = 16\,(cm)\)

Tìm điều kiện xác định của hệ phương trình.

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{x - 2}}\\v = \dfrac{1}{{3y + 1}}\end{array} \right.\). Giải hệ phương trình được \(u,v \Rightarrow x,y\) đối chiếu điều kiện và kết luận. 

Điều kiện: \(x \ne 2,\,\,\,y \ne - \dfrac{1}{3}.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{x - 2}}\\v = \dfrac{1}{{3y + 1}}\end{array} \right..\) Khi đó ta có hệ phương trình

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + 4v = 5\\2u - 4v = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u = 3\\u + 4v = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 1\end{array} \right.\) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} = 1\\\dfrac{1}{{3y + 1}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\3y + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;0} \right).\)

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số \(a,b\) không âm, ta có \(\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} \)

- Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)

\(\sqrt {9{{\left( { - a} \right)}^2}.{{\left( {3 - 4a} \right)}^6}} = \sqrt 9 \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {3 - 4a} \right)}^6}} = \sqrt {{3^2}} \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {{{\left( {3 - 4a} \right)}^3}} \right)}^2}} = \left| 3 \right|\left| { - a} \right|.\left| {{{\left( {3 - 4a} \right)}^3}} \right| = 3a.{\left( {4a - 3} \right)^3}\)

 (vì \(a \ge \dfrac{3}{4} \Rightarrow 3 - 4a \le 0 \Rightarrow \left| {3 - 4a} \right| = 4a - 3 \Rightarrow \left| {{{\left( {3 - 4a} \right)}^3}} \right| = {\left( {4a - 3} \right)^3}\))

Biến đổi biểu thức đã cho bằng phương pháp nhân liên hợp sau đó tính giá trị biểu thức \(Q\).

Theo đề bài ta có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right) = 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1 - {x^2}} \right)\left( {{y^2} + 1 - {y^2}} \right) = 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right)\\ \Leftrightarrow 1 = 2\left[ {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy} \right) - \left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Lại có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\)

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy} \right) + \left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = 2\,\,\\ \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy} \right) + 2\left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta được: \( - 4\left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = - 3\)\( \Rightarrow x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} = \dfrac{3}{4}.\)

Vậy \(Q = \dfrac{3}{4}.\)

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\) và diện tích toàn phần của hình nón \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}\)

Sử dụng công thức liên hệ \({l^2} = {R^2} + {h^2}\) để tính chiều cao của hình nón.

Gọi \(l\) là độ dài đường sinh của hình nón.

Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón bằng nhau nên từ giả thiết ta có:

\(4\pi {R^2} = \pi Rl + \pi {R^2}\)

\(4{R^2} = Rl + {R^2} \)

\(3{R^2} = Rl \)

\(l = 3R = 3.5 = 15\,(cm)\)

Sử dụng công thức tính chiều cao hình nón ta có:

\({h^2} = {l^2} - {R^2} = {15^2} - {5^2} = 200\)

Suy ra \(h = 10\sqrt 2 \,\,(cm)\)

Dựa vào tính chất hai đường tròn cắt nhau.

Định lí Pi-ta-go đảo.

Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Gọi giao điểm của AB và OO' là H. Khi đó AB vuông góc với OO' tại H.

Xét tam giác \(OAO'\) có \(O{A^2} + O'{A^2} = OO{'^2}\) (vì \({4^2} + {3^2} = {5^2}\)) nên tam giác \(OAO'\) vuông tại \(A\).

Xét tam giác \(OAO'\) có \(AH\) là đường cao nên \(AH.OO' = OA.O'A \Rightarrow AH = \dfrac{{OA.O'A}}{{OO'}} = \dfrac{{4.3}}{5} = \dfrac{{12}}{5}\)

Mà \(AB = 2AH\) nên \(AB = \dfrac{{24}}{5} = 4,8cm\)

Sử dụng: Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Xét tam giác \(BEC\) vuông tại \(E\) có \(EI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}\) (vì \(EI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Xét tam giác \(BDC\) vuông tại \(D\) có \(DI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}\) (vì \(DI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ đó ta có \(ID = IE = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}\) nên bốn điểm \(B,E,D,C\) cùng nằm trên một đường tròn có bán kính \(R = \dfrac{{BC}}{2}\).

Ta thấy \(IA > ID\) nên điểm \(A\) không thuộc đường tròn trên.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \((d_1);(d_2)\) để tìm \(x,\) thay giá trị \(x\) vừa tìm được vào 1 trong hai phương trình để tìm \(y.\)

Ba đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\):

\(2x - 3 = - \dfrac{1}{2}x + 2 \Leftrightarrow 2x + \dfrac{1}{2}x = 2 + 3 \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}x = 5 \Leftrightarrow x = 2\)

Thay \(x = 2\) vào hàm số \(y = 2x - 3\) ta được \(y = 2.2 - 3 = 1.\)

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \(A\left( {2;1} \right)\).

Ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) , \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right):y = 3x - 2m - 3\) đồng quy \( \Rightarrow \left( {{d_3}} \right)\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\)\( \Rightarrow A \in \left( {{d_3}} \right)\)

Thay tọa độ điểm \(A\) vào hàm số \(\left( {{d_3}} \right):\,\,y = 3x - 2m - 3\) ta được:

\(1 = 3.2 - 2m - 3\)\( \Rightarrow 2m = 6 - 3 - 1 \Rightarrow m = 1\)

Vậy \(m = 1\) thì ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) , \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right):y = 3x - 2m - 3\) đồng quy.

Sử dụng công thức thể tich khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\) để tính bán kính đường tròn đáy

Sử dụng công thức liên hệ \({R^2} + {h^2} = {l^2}\) để tìm đường sinh của hình nón

Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}\)

Ta có \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}.24 = 800\pi \) suy ra \( {R^2} = 100 \) do đó \( R = 10\,cm\)

Và \({R^2} + {h^2} = {l^2} \) hay \( {10^2} + {24^2} = {l^2} \) suy ra \( l = 26\,cm\)

Diện tích toàn phần của hình nón là:

\({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .10.26 + \pi {.10^2} = 360\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Sử dụng giá trị lượng giác của một góc nhọn trong tam giác vuông để giải tam giác.

Trong tam giác vuông, độ dài 1 cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông còn lại nhân tang góc đối.

Chiều cao của cây là : \(h = 1,7 + 20.\tan 35^\circ \approx 15,7m\).

Sử dụng cách chứng minh tiếp tuyến

Để chứng minh đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại tiếp điểm là \(M\) ta chứng minh \(OM \bot d\) tại \(M\) và \(M \in \left( O \right)\).

+) Xét tam giác \(MNP\) có \(M{P^2} = {13^2} = 169;N{M^2} + N{P^2} = {5^2} + {12^2} = 169\)\( \Rightarrow M{P^2} = N{M^2} + N{P^2}\)

\( \Rightarrow \Delta MNP\) vuông tại N (định lý Pytago đảo)

\( \Rightarrow MN \bot NP\) mà \(N \in \left( {M;MN} \right)\) nên \(NP\) là tiếp tuyến của \(\left( {M;MN} \right)\)

- \(d//d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\)

- d tiếp xúc (P) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) có nghiệm kép. 

Gọi d: y = ax + b

\(d//d':y = 2x + 1 \Rightarrow \left\{ \matrix{a = 2 \hfill \cr b \ne 1 \hfill \cr} \right.\)

d : 2x + b tiếp xúc với (P) suy ra phương trình \({x^2} = 2x + b\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - b = 0\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow 1 + b = 0 \Leftrightarrow b = - 1\)

Vậy \(d:y = 2x - 1.\)

Dựa vào công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn:

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$, với $b=2b'$ và $\Delta '=b{{'}^{2}}-ac$.

- Nếu $\Delta '>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${{x}_{1}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a};{{x}_{2}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}$.

- Nếu $\Delta '=0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{b'}{a}$.

- Nếu $\Delta '<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Phương trình vô nghiệm khi $\Delta '<0$.

Tìm ĐKXĐ của biểu thức, rút gọn biểu thức Q sau đó xét xem \(x = 2020 - 2\sqrt {2019} \) có thỏa mãn điều kiện bài toán hay không rồi thay vào biểu thức và tính giá trị biểu thức Q.

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)

\(Q = \dfrac{{2x - 3\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 2}}\)\( = \dfrac{{\left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}\)\( = 2\sqrt x + 1.\)

Ta có: \(x = 2020 - 2\sqrt {2019} \)\( = 2019 - 2\sqrt {2019} + 1\)\( = {\left( {\sqrt {2019} - 1} \right)^2}\,\,\,\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt {2019} - 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt {2019} - 1} \right| = \sqrt {2019} - 1\,.\)

Thay \(\sqrt x = \sqrt {2019} - 1\) vào biểu thức \(Q\) ta được:

\(Q = 2\left( {\sqrt {2019} - 1} \right) + 1\)\( = 2\sqrt {2019} - 2 + 1\)\( = 2\sqrt {2019} - 1.\)

Vậy \(x = 2020 - 2\sqrt {2019} \) thì \(Q = 2\sqrt {2019} - 1.\)

Sử dụng nhận xét : Với góc nhọn \(\alpha ,\,\beta ,\) ta có: \(\alpha < \beta \Leftrightarrow \cot \alpha > \cot \beta \)

Vì \(46^\circ < 50^\circ \Leftrightarrow \cot 46^\circ > \cot 50^\circ \).

Giải theo các bước sau:

+ Lập phương trình: Chọn ẩn và đặt điều kiện; biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết; lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

+ Giải phương trình

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận

Đổi 10 phút = \(\dfrac{1}{6}\) giờ.

Gọi quãng đường AB dài là \(x\left( {km} \right)\left( {x > 30{\rm{ }}} \right)\).

Suy ra quãng đường từ khi dừng lại sửa xe đến B là \(x- 30{\rm{ }}\left( {km} \right)\).

Thời gian dự định đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{{30}}\)(h).

Thời gian thực tế đi từ A đến B là \(1 + \dfrac{1}{6} + \dfrac{{x - 30}}{{36}}\) (h).

Ta có phương trình:

\(1 + \dfrac{1}{6} + \dfrac{{x - 30}}{{36}} = \dfrac{x}{{30}}\)

\(\dfrac{{36 + 6 + x - 30}}{{36}} = \dfrac{x}{{30}}\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{12 + x}}{{36}} = \dfrac{x}{{30}}\\ 30\left( {12 + x} \right) = 36.x\\ 360 + 30x = 36x\\ 6x = 360\\ x = 60\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy quãng đường \(AB\) dài \(60\) km.

Hai số \(u,v\) có \(u + v = S;uv = P\) thì \(u,v\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = u + v = m + 1 - m = 1\\P = uv = m\left( {1 - m} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(u,v\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\) hay \({x^2} - x + m\left( {1 - m} \right) = 0\).

Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử.

\({x^2} + xy - x - y = x\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right)\)\( = \left( {x - 1} \right)\left( {x + y} \right)\).

Bước 1: Tính cạnh còn lại theo định lý Pytago

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Theo định lý Py-ta-go ta có: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có \(\sin B = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\) và \(\cos B = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

Ta có: \(\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\) theo tỉ số \(k\)\( \Rightarrow \dfrac{{{C_{\Delta ABC}}}}{{{C_{\Delta A'B'C'}}}} = \dfrac{{AB}}{{A'B'}} = k.\)

Cho \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta A'B'C'\) theo tỉ số \(\dfrac{3}{5}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}} = \dfrac{{AC}}{{A'C'}} = \dfrac{3}{5}\)\( \Rightarrow \dfrac{{{C_{\Delta ABC}}}}{{{C_{\Delta A'B'C'}}}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow {C_{\Delta ABC}} = \dfrac{3}{5}{C_{\Delta A'B'C'}}.\)

Mà chu vi của tam giác \({C_{\Delta A'B'C'}} = 60cm\) nên \({C_{\Delta ABC}} = \dfrac{3}{5}. 60 = 36cm\).

Đường thẳng \(d:y = mx + n\) và parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi phương trình \(a{x^2} = mx + n\) có hai nghiệm phân biệt.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: “Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền”.

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có chiều cao \(AH.\) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(A{H^2} = HB.HC \Leftrightarrow A{H^2} = 9.25\) \( \Leftrightarrow A{H^2} = 225 \Rightarrow AH = 15\)

Vậy \(AH = 15\,cm.\)

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) \(A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} \) với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\)

+) \(A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} \) với \(A < 0\) và \(B \ge 0\)

Ta có: \(5x\sqrt {\dfrac{{ - 12}}{{{x^3}}}} \)\( = - \sqrt {{{\left( {5x} \right)}^2}.\dfrac{{ - 12}}{{{x^3}}}} = \sqrt {25{x^2}\left( {\dfrac{{ - 12}}{x^3}} \right)} = - \sqrt {\dfrac{{ - 300}}{x}} \).

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

ĐKXĐ: \(x \ne 2;\,\,x \ne - 2\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{{1 - x}}{{2 - x}} = \dfrac{{2({x^2} + 2)}}{{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{1 - x}}{{x - 2}} = \dfrac{{2({x^2} + 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{(x - 1)(x - 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} + \dfrac{{(1 - x)(x + 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \dfrac{{2({x^2} + 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\ \Rightarrow (x - 1)(x - 2) + (1 - x)(x + 2) = 2({x^2} + 2)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - x + 2 + x + 2 - {x^2} - 2x = 2{x^2} + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,(TM)\\x = - 2\,\,\,\,\,(KTM)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 0 \right\}.\)

Sử dụng công thức $\sqrt[3]{{{a^3}}} = a$

Ta có $\sqrt[3]{{ - \dfrac{1}{{27{a^3}}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - \dfrac{1}{{3a}}} \right)}^3}}} = - \dfrac{1}{{3a}}$

Áp dụng các tính chất:

- Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Ta có:

+) \( - 2.3 = - 6\). Mà \( - 6 = - 6\). Vậy bất đẳng thức \( - 2.3 \ge - 6\) là đúng.

+) Ta có: \(2 < 3\) nên \(2.\left( { - 3} \right) > 3.\left( { - 3} \right)\). Vậy bất đẳng thức \(2.( - 3) \le 3.( - 3)\) là sai.

+) Ta có: \(2 > 1\) nên \(2 + ( - 5) > ( - 5) + 1\). Vậy bất đẳng thức \(2 + ( - 5) > ( - 5) + 1\) là đúng.

+ Ta có: \( - 3 > - 4\) nên \(2.( - 4) - 3 > 2.( - 4) - 4\). Vậy bất đẳng thức \(2.( - 4) - 3 > 2.( - 4) - 4\) là đúng.

- Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2};\)\({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\)

- Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

- Cộng trừ các căn thức bậc hai.

\(\sqrt {17 - 12\sqrt 2 } + \sqrt {9 + 4\sqrt 2 } \)\( = \sqrt {17 - 2.6\sqrt 2 } + \sqrt {9 + 2.2\sqrt 2 } = \sqrt {9 - 2.3.2\sqrt 2 + 8} + \sqrt {8 + 2.2\sqrt 2 .1 + 1} \)

\( = \sqrt {{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \left| {3 - 2\sqrt 2 } \right| + \left| {2\sqrt 2 + 1} \right| = 3 - 2\sqrt 2 + \left( {2\sqrt 2 + 1} \right) = 4.\)

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng \(d\)

Bước 2: Xác định hệ số góc: đường thẳng \(d\) có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(a\) là hệ số góc.

Gọi \(d:y = {\rm{ax}} + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua \(2\) điểm \(M\left( { - 3;2} \right)\) và \(N\left( {1; - 1} \right)\)

\(M\) thuộc \(d \Leftrightarrow - 3a + b = 2 \Rightarrow b = 2 + 3a\,\,\left( 1 \right)\)

\(N\) thuộc \(d \Leftrightarrow 1.a + b = - 1 \Leftrightarrow b = - 1 - a\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(2 + 3a = - 1 - a \Leftrightarrow 4a = - 3 \Leftrightarrow a = - \dfrac{3}{4}\) suy ra \(b = - 1 - a = - 1 + \dfrac{3}{4} = - \dfrac{1}{4}\)

Vậy \(d:y = - \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{4}\).

Hệ số góc của \(d\) là \(k = - \dfrac{3}{4}\)

Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.

Tìm số \(a\) sao cho \(a.a.a = 512\), khi đó \(a\) là độ dài cạnh hình lập phương đó.

Tính diện tích toàn phần ta lấy cạnh nhân với cạnh rồi nhân với \(6\).

Ta có: \(8. 8. 8 = 512\) nên độ dài hình lập phương đã cho có cạnh là \(8cm\).

Diện tích toàn phần của hình lập phương đã cho là: \(8 \times 8 \times 6 = 384\,\,(c{m^2})\).

Vậy hình lập phương có thể tích \(512c{m^3}\) thì có diện tích toàn phần là \(384c{m^2}\).

- Sử dụng công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\) đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn).

- Sử dụng \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,khi\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,khi\,A < 0\end{array} \right.\)

- Cộng trừ các căn thức.

\(2\sqrt {32} - \sqrt {27} - 4\sqrt 8 + 3\sqrt {75} \)\( = 2\sqrt {16.2} - \sqrt {9.3} - 4\sqrt {4.2} + 3\sqrt {25.3} \)\(= 8\sqrt 2 - 3\sqrt 3 - 8\sqrt 2 + 15\sqrt 3 = 12\sqrt 3 \)

+ Sử dụng hệ thức Vi-et để biến đổi và đánh giá \(\left| {{x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}} \right|.\)

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {2{m^2} - 3m + 1} \right) = - {m^2} + m = m\left( {1 - m} \right)\). Để phương trình có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 1\). Theo định lý Viet ta có: \({x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\) và \({x_1}{x_2} = 2{m^2} - 3m + 1\). Ta có \(\left| {{x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}} \right| = \left| {2\left( {m - 1} \right) + 2{m^2} - 3m + 1} \right|\)\( = \left| {2{m^2} - m - 1} \right| = 2\left| {{m^2} - \dfrac{m}{2} - \dfrac{1}{2}} \right| = 2\left| {{{\left( {m - \dfrac{1}{4}} \right)}^2} - \dfrac{9}{{16}}} \right|\)

Vì \(0 \le m \le 1 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} \le m - \dfrac{1}{4} \le \dfrac{3}{4}\) suy ra \({\left( {m - \dfrac{1}{4}} \right)^2} \le \dfrac{9}{{16}} \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{4}} \right)^2} - \dfrac{9}{{16}} \le 0\)

Do đó \(\left| {{x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}} \right| = 2\left| {{{\left( {m - \dfrac{1}{4}} \right)}^2} - \dfrac{9}{{16}}} \right| = 2\left| {\dfrac{9}{{16}} - {{\left( {m - \dfrac{1}{4}} \right)}^2}} \right| = \dfrac{9}{8} - 2{\left( {m - \dfrac{1}{4}} \right)^2} \le \dfrac{9}{8}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(m = \dfrac{1}{4}\).

Sử dụng cách vẽ đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường thẳng

Nếu \(b \ne 0\) thì đồ thị \(y = ax + b\) là đường thẳng đi qua các điểm \(A(0;b),\,\,B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right).\)

Từ hình vẽ suy ra đồ thị hàm số đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {0; - 1} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\) .

Thay tọa độ hai điểm vào mỗi hàm số ta thấy với hàm số \(y = 2x - 1\)

+) Thay \(x = 0;y = - 1\) và vào hàm số \(y = 2x - 1\) ta được \( - 1 = 2.0 - 1 \Leftrightarrow - 1 = - 1\) (luôn đúng)

+) Thay \(x = 2;y = 3\) và vào hàm số \(y = 2x - 1\) ta được \(3 = 2.2 - 1 \Leftrightarrow 3 = 3\) (luôn đúng)

Vậy đồ thị hàm số \(y = 2x - 1\) là đường thẳng như hình vẽ.

Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) xác định với mọi giá trị của \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\)và có tính chất sau

- Đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a > 0\).

- Nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a < 0\).

Hàm số \(y = - 3x + 2\) có \(a = - 3 < 0\) nên là hàm số nghịch biến

Hàm số \(y = - \dfrac{1}{3}\left( { - x + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{3}\) có \(a = \dfrac{1}{3} > 0\) nên là hàm số đồng biến

Hàm số \(y = 6 - \dfrac{x}{2}\)\( \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{2}x + 6\)có \(a = - \dfrac{1}{2} < 0\) nên là hàm số nghịch biến

Hàm số \(y = - \left( {1 - 2x} \right) \Leftrightarrow y = 2x - 1\) có \(a = 2 > 0\) nên là hàm số đồng biến

Vậy có hai hàm số nghịch biến \(y = - 3x + 2;y = 6 - \dfrac{x}{2}.\)

Sử dụng diện tích đáy $S_đ=\pi.R^2$ để tính bán kính \(R\) .

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ \({S_{xq}} = 2\pi Rh\)

Bán kính \(R\) của đường tròn đáy là \(\pi {R^2} = 36\pi\) suy ra \(R = 6\,cm\)

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

\({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .6.8 = 96\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vì trục lăn \(10\) vòng nên diện tích tạo trên sân phẳng là \(10.96\pi = 960\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

- Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức.

- Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

- Sử dụng bất đẳng thức \(\left| A \right| + \left| B \right| \ge \left| {A + B} \right|\) với mọi \(A,B.\) Dấu ‘=’ xảy ra \( \Leftrightarrow A = B\)

Ta có \(A = \sqrt {{m^2} + 2m + 1} + \sqrt {{m^2} - 8m + 16} \)\( = \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2}} = \left| {m + 1} \right| + \left| {m - 4} \right|\)

Ta có \(\left| {m + 1} \right| + \left| {m - 4} \right| = \left| {m + 1} \right| + \left| {4 - m} \right| \ge \left| {m + 1 + 4 - m} \right| = 5\)

Dấu “=” xảy ra khi \(m + 1 = 4 - m \) hay \( 2m = 3 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\)

Suy ra GTNN của \(B\) là \(5 \) khi \( m = \dfrac{3}{2}\) .