loigiai.com.vn xin giới thiệu Đề kiểm tra học kì 2 Toán 10 - Đề số 3 - Chân trời sáng tạo, một công cụ hữu ích giúp học sinh ôn luyện và đánh giá năng lực bản thân trước kỳ thi quan trọng.
Đề thi được biên soạn bám sát chương trình học, bao gồm các dạng bài tập khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi thực tế.
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 35 câu - 7,0 điểm ).
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).
Câu 1. Tập xác định của hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 2\) là
A. \(\left( {0\,; + \infty } \right).\)
B. \(\left( { - \infty \,;\,0} \right) \cup \left( {0\,; + \infty } \right).\)
C. \(\left( { - \infty \,;\,0} \right).\)
D. \(\left( { - \infty \,; + \infty } \right).\)
Câu 2. Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x - 1} + \frac{1}{{x + 4}}\) là
A. \(\left[ {1; + \infty } \right).\)
B. \(\left[ {1; + \infty } \right).\)
C. \(\left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 4 \right\}.\)
D. \(\left( { - 4; + \infty } \right).\)
Câu 3. Cho hàm số \(.y = {x^2} + 2x - 3\) có đồ thị là parabol\((P)\). Trục đối xứng của \((P)\) là
A. \(x = - 1.\)
B. \(x = 1.\)
C. \(x = 2.\)
D. \(x = - 2.\)
Câu 4. Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị \(\left( P \right)\) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\;3} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {3;\; + \infty } \right).\)
B. \(\left( P \right)\) có đỉnh là \(I\left( {3;4} \right).\)
C. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1.\)
D. Đồ thị cắt trục hoành tại \(2\) điểm phân biệt.
Câu 5. Cho tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right),\) \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Ta có \(f\left( x \right) \le 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)khi và chỉ khi:
A. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}a \le 0\\\Delta < 0\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right..\)
Câu 6. Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 2\) nhận giá trị không âm khi và chỉ khi
A. \(x \in \left( { - \infty \,;1} \right] \cup \left[ {2\,; + \infty } \right).\)
B. \(x \in \left[ {1\,;2} \right].\)
C. \(x \in \left( {1\,;2} \right).\)
D. \(x \in \left( { - \infty \,;1} \right) \cup \left( {2\,; + \infty } \right).\)
Câu 7. Tập nghiệm \(S\) của phương trình\(\sqrt {2x - 3} = x - 3\)là
A. \(S = \left\{ {6;2} \right\}.\)
B. \(S = \left\{ 2 \right\}.\)
C. \(S = \left\{ 6 \right\}.\)
D. \(S = \emptyset .\)
Câu 8. Giải phương trình sau:\(\sqrt { - {x^2} + 7x - 6} = \sqrt {x + 2} \)
A. \(S = \left\{ 4 \right\}.\)
B. \(S = \left\{ 2 \right\}.\)
C. \(S = \left\{ {2;4} \right\}.\)
D. \(S = \emptyset .\)
Câu 9. Đường thẳng đi qua \(A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\), nhận \(\overrightarrow n = (2; - 4)\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình là
A. \(x--2y--4 = 0.\)
B. \(x + y + 4 = 0.\)
C. \(--{\rm{ }}x + 2y--4 = 0.\)
D. \(x--2y + 5 = 0.\)
Câu 10. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A(3; - 6)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = (4; - 2)\) là
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 6 - t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 4t\\y = 3 - 2t\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 4t\\y = 1 - 2t\end{array} \right..\)
Câu 11. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sau đây: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 12 + 4t'\\y = - 15 - 5t'\end{array} \right.\).
A. \(\left( {6;5} \right).\)
B. \(\left( {0;0} \right).\)
C. \(\left( { - 5;4} \right).\)
D. \(\left( {2;5} \right).\)
Câu 12. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(A(2; - 1),{\rm{ }}B\left( {2;5} \right)\) là
A. \(x + y - 1 = 0.\)
B. \(2x - 7y + 9 = 0.\)
C. \(x + 2 = 0.\)
D. \(x - 2 = 0.\)
Câu 13. Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;0} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\end{array} \right.\) là
A. \(\frac{2}{5}.\)
B. \(2.\)
C. \(\frac{{10}}{{\sqrt 5 }}.\)
D. \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)
Câu 14. Góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:x + 2y + 4 = 0\) và \({d_2}:x--3y + 6 = 0\)là
A. \(30^\circ .\)
B. \(60^\circ .\)
C. \(45^\circ .\)
D. \(135^\circ .\)
Câu 15. Cho đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 4 = 0\). Tâm của đường tròn có tọa độ là
A. \(\left( { - 5;\,\,4} \right).\)
B. \(\left( {4;\,\, - 5} \right).\)
C. \(\left( { - \frac{5}{2};\,\,2} \right).\)
D. \(\left( { - \frac{5}{2};\,\, - 2} \right).\)
Câu 16. Phương trình nào là sau đây là phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\), bán kính \(R = 2?\)
A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 4 = 0.\)
B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4.\)
C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 4.\)
D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 2.\)
Câu 17. Cho hai điểm \(A\left( {1;1} \right){\rm{, }}B\left( {7;5} \right)\). Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là
A. \({x^2} + {y^2} + 8x + 6y + 12 = 0.\)
B. \({x^2} + {y^2} + 8x + 6y - 12 = 0.\)
C. \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y - 12 = 0.\)
D. \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 12 = 0.\)
Câu 18. Một đường tròn có tâm \(I(1;3)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x + 4y = 0\). Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu?
A. \(\frac{3}{5}.\)
B. \(1.\)
C. \(3.\)
D. \(15.\)
Câu 19. Tìm các tiêu điểm của\(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1.\)
A. \({F_1}\left( { - 3;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - 3} \right).\)
B. \({F_1}\left( {3;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - 3} \right).\)
C. \({F_1}\left( { - \sqrt 8 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {\sqrt 8 ;0} \right).\)
D. \({F_1}\left( {\sqrt 8 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - \sqrt 8 } \right).\)
Câu 20. Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm \(A\left( {6;0} \right)\) và có tâm sai bằng \(\frac{1}{2}?\)
A. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{\rm{6}}} + \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{3}}} = 1.\)
B. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{36}}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{27}}}} = 1.\)
C. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{36}}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{18}}}} = 1.\)
D. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{\rm{6}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{2}}} = 1.\)
Câu 21. Một hộp có chứa 7 bóng đèn màu đỏ và 4 bóng đèn màu xanh. Số tất cả các cách chọn một bóng đèn trong hộp là
A. \(11.\)
B. \(7.\)
C. \(4.\)
D. \(28.\)
Câu 22. Một hộp có 3 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Số cách lấy ra hai viên bi, trong đó có 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh bằng
A. \(81.\)
B. \(7.\)
C. \(12.\)
D. \(64.\)
Câu 23. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một phân biệt và chia hết cho \(5\)?
A. \(136.\)
B. \(128.\)
C. \(256.\)
D. \(1458.\)
Câu 24. Số cách xếp \(10\)học sinh thành một hàng dọc là
A. \(5!.5!.\)
B. \(10!.\)
C. \(10.\)
D. \(25.\)
Câu 25.Cho tập hợp \(X = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Từ tập \(X\) lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?
A. \(100.\)
B. \(120.\)
C. \(60.\)
D. \(125.\)
Câu 26. Trên một đường tròn có \(8\) điểm phân biệt. Số tam giác nhận \(3\) trong số \(8\) điểm đó làm đỉnh là
A. \(58.\)
B. \(56.\)
C. \(54.\)
D. \(52.\)
Câu 27. Trong một trận chung kết bóng đá cần phải đá luân lưu 11 mét để phân định thắng thua, huấn luyện viên cần trình với trọng tài một danh sách 3 cầu thủ trong 7 cầu thủ đang có trên sân để lần lượt theo thứ tự đá đủ 3 quả sút luân lưu (mỗi cầu thủ đá đúng một lần). Huấn luyện viên có tất cả bao nhiêu cách chọn?
A. \(70.\)
B. \(2187.\)
C. \(823543.\)
D. \(210.\)
Câu 28. Có \(3\) nam và \(3\) nữ xếp thành một hàng. Số cách sắp xếp để nam nữ đứng xen kẽ là:
A. \(36.\)
B. \(72.\)
C. \(144.\)
D. \(720.\)
Câu 29. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {2x - 3} \right)^{2018}}\)?
A. \(2019.\)
B. \(2017.\)
C. \(2018.\)
D. \(2020.\)
Câu 30. Xét phép thử tung con súc sắc \(6\) mặt hai lần. Biến cố \(A:\) “ số chấm xuất hiện ở cả hai lần tung giống nhau”
A. \(n\left( A \right) = 6.\)
B. \(n\left( A \right) = 36.\)
C. \(n\left( A \right) = 16.\)
D. \(n\left( A \right) = 12.\)
Câu 31. Rút ngẫu nhiên cùng lúc ba con bài từ cỗ bài tú lơ khơ \(52\) con thì \(n\left( \Omega \right)\) bằng bao nhiêu?
A. \(140608.\)
B. \(156.\)
C. \(132600.\)
D. \(22100.\)
Câu 32. Gieo một đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp hai lần. Tính xác suất để cả hai lần gieo đều được mặt sấp.
A. \(\frac{1}{4}.\)
B. \(\frac{1}{6}.\)
C. \(\frac{1}{8}.\)
D. \(\frac{1}{2}.\)
Câu 33. Một đoàn đại biểu gồm \(5\)người được chọn ra từ một tổ gồm \(8\)nam và \(7\)nữ để tham dự hội nghị. Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng \(2\)người nữ là
A. \(\frac{{56}}{{143}}.\)
B. \(\frac{{140}}{{429}}.\)
C. \(\frac{1}{{143}}.\)
D. \(\frac{{28}}{{715}}.\)
Câu 34. Đội văn nghệ của lớp có \(5\) bạn nam và \(7\) bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên \(5\) bạn tham gia biểu diễn, xác suất để trong \(5\) bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số nam nhiều hơnsố nữ bằng:
A. \(\frac{{245}}{{792}}.\)
B. \(\frac{{210}}{{792}}.\)
C. \(\frac{{547}}{{792}}.\)
D. \(\frac{{582}}{{792}}.\)
Câu 35. Gieo con xúc xắc hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm:
A. \(A = \left\{ {\left( {1;6} \right),\,\left( {2;6} \right),\,\left( {3;6} \right),\,\left( {4;6} \right),\,\left( {5;6} \right)} \right\}.\)
B. \(A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right)} \right\}.\)
C. \(A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right),\,\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}\)
D. \(A = \left\{ {\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}.\)
II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)
Câu 36. Trong mặt phẳng \(Oxy\), viết phương trình chính tắc của elip \(\left( E \right)\) biết \(\left( E \right)\) đi qua \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và \(M\) nhìn hai tiêu điểm \({F_1},\,{F_2}\) dưới một góc vuông.
Câu 37. Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\)trong khai triển Nhị thức Niu tơn: \({\left( {\frac{n}{{2x}} + \frac{x}{2}} \right)^{2n}}\)\(\left( {x \ne 0} \right)\), biết số nguyên dương \(n\)thỏa mãn \(C_n^3 + A_n^2 = 50.\)
Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) lần lượt có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {3^2}\) và \(3x + 4y + 1 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \), biết \(\Delta \) cắt \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài lớn nhất và \(\Delta \) tạo với \(d\) một góc \(45^\circ \).
Câu 39. Một tổ có 10 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có 2 học sinh tên An và Tâm và 6 học sinh nam. Xếp 10 học sinh trong tổ ngồi thành một hàng dọc. Tính xác suất để chỉ có hai học sinh nữ An và Tâm ngồi cạnh nhau còn các học sinh nữ khác không ngồi cạnh nhau đồng thời cũng không ngồi cạnh An và Tâm.
-----------------HẾT ---------------
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).
Câu 1. Tập xác định của hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 2\) là
A. \(\left( {0\,; + \infty } \right).\)
B. \(\left( { - \infty \,;\,0} \right) \cup \left( {0\,; + \infty } \right).\)
C. \(\left( { - \infty \,;\,0} \right).\)
D. \(\left( { - \infty \,; + \infty } \right).\)
Phương pháp
- Hàm đa thức có tập xác định \(D = \left( { - \infty \,; + \infty } \right).\)
Lời giải
Chọn D
Ta có hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 2\) là hàm đa thức nên có tập xác định \(D = \left( { - \infty \,; + \infty } \right).\)
Câu 2. Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x - 1} + \frac{1}{{x + 4}}\) là
A. \(\left[ {1; + \infty } \right).\)
B. \(\left[ {1; + \infty } \right).\)
C. \(\left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 4 \right\}.\)
D. \(\left( { - 4; + \infty } \right).\)
Phương pháp
- Căn thức xác định khi biểu thức trong căn lớn hơn bằng 0.
- Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0
Lời giải
Chọn B
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x + 4 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne - 4\end{array} \right.\)
Câu 3. Cho hàm số \(.y = {x^2} + 2x - 3\) có đồ thị là parabol\((P)\). Trục đối xứng của \((P)\) là
A. \(x = - 1.\) B. \(x = 1.\) C. \(x = 2.\) D. \(x = - 2.\)
Phương pháp
\((P)\)có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)
Lời giải
Chọn A
\((P)\)có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}} = - 1\)
Câu 4. Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị \(\left( P \right)\) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\;3} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {3;\; + \infty } \right).\)
B. \(\left( P \right)\) có đỉnh là \(I\left( {3;4} \right).\)
C. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1.\)
D. Đồ thị cắt trục hoành tại \(2\) điểm phân biệt.
Phương pháp
- Dựa vào hình vẽ và các công thức của Parabol
Lời giải
Chọn C
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right) \Rightarrow \) Loại A
Đỉnh \(I\left( {3;4} \right) \Rightarrow \) Loại B
Trục tung \(x = 0,\)ta có \(y > 1\) \( \Rightarrow \) C sai.
Hiển nhiên D đúng.
Câu 5. Cho tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right),\) \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Ta có \(f\left( x \right) \le 0\) với \(\forall x \in R\)khi và chỉ khi:
A. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}a \le 0\\\Delta < 0\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right..\)
Phương pháp
Sử dụng dấu của tam thức bậc hai.
Lời giải
Chọn A
Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có: \(f\left( x \right) \le 0\) với \(\forall x \in R\)khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\)
Câu 6. Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 2\) nhận giá trị không âm khi và chỉ khi
A. \(x \in \left( { - \infty \,;1} \right] \cup \left[ {2\,; + \infty } \right).\)
B. \(x \in \left[ {1\,;2} \right].\)
C. \(x \in \left( {1\,;2} \right).\)
D. \(x \in \left( { - \infty \,;1} \right) \cup \left( {2\,; + \infty } \right).\)
Phương pháp
Sử dụng dấu của tam thức bậc hai.
Lời giải
Chọn B
\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Bảng xét dấu \(f\left( x \right)\)
\(x\) | \( - \infty \) 1 2 \( + \infty \) |
\(f(x)\) | - + - |
Vậy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {1{\mkern 1mu} ;2} \right]\)
Câu 7. Tập nghiệm \(S\) của phương trình\(\sqrt {2x - 3} = x - 3\)là
A. \(S = \left\{ {6;2} \right\}.\)
B. \(S = \left\{ 2 \right\}.\)
C. \(S = \left\{ 6 \right\}.\)
D. \(S = \emptyset .\)
Phương pháp
Bình phương hai vế của phương trình
Lời giải.
Chọn C
Ta có :\(\sqrt {2x - 3} = x - 3 \Rightarrow {(\sqrt {2x - 3} )^2} = {(x - 3)^2} \Leftrightarrow 3x - 3 = {x^2} - 6x + 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right.\)
Thử nghiệm :
Thay \(x = 2\) vào phương trình ta được \(\sqrt {2.2 - 3} = 2 - 3\) (sai).
Thay \(x = 6\) vào phương trình ta được \(\sqrt {2.6 - 3} = 6 - 3\) (đúng).
Vậy \(x = 6\) là nghiệm của phương trình.
Câu 8. Giải phương trình sau:\(\sqrt { - {x^2} + 7x - 6} = \sqrt {x + 2} \)
A. \(S = \left\{ 4 \right\}.\)
B. \(S = \left\{ 2 \right\}.\)
C. \(S = \left\{ {2;4} \right\}.\)
D. \(S = \emptyset .\)
Phương pháp
Bình phương hai vế của phương trình
Lời giải.
Chọn C
Ta có: \(\sqrt { - {x^2} + 7x - 6} = \sqrt {x + 2} \Rightarrow {(\sqrt { - {x^2} + 7x - 6} )^2} = {(\sqrt {x + 2} )^2} \Leftrightarrow - {x^2} + 7x - 6 = x + 2\)
\( \Leftrightarrow - {x^2} + 6x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\)
Thay 2 giá trị x tìm được vào phương trình đã cho ta thấy \(x = 4\); \(x = 2\)đều thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm \(x = 4\); \(x = 2\)
Câu 9. Đường thẳng đi qua \(A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\), nhận \(\overrightarrow n = (2; - 4)\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình là
A. \(x--2y--4 = 0.\)
B. \(x + y + 4 = 0.\)
C. \(--{\rm{ }}x + 2y--4 = 0.\)
D. \(x--2y + 5 = 0.\)
Phương pháp
Phương trình đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)có VTPT là \(\overrightarrow n = (a;b).\)
Lời giải
Chọn D
Đường thẳng đi qua \(A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\), nhận \(\overrightarrow n = (2; - 4)\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình là:
\(2\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0\).
Câu 10. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A(3; - 6)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = (4; - 2)\) là
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 6 - t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 4t\\y = 3 - 2t\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 4t\\y = 1 - 2t\end{array} \right..\)
Phương pháp
Đường thẳng cần viết phương trình đi qua \(A({x_0};{y_0})\)và vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u = (a,b)\) nên có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\)
Lời giải
Chọn A
Đường thẳng \(d\)có vtcp là \(\left( {4; - 2} \right)\) suy ra có vtcp là \(\left( {2; - 1} \right)\). Đường thẳng cần viết phương trình đi qua \(A(3; - 6)\)và vtcp là \(\left( {2; - 1} \right)\) nên có phương trình tham số\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 6 - t\end{array} \right.\).
Câu 11. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sau đây: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 12 + 4t'\\y = - 15 - 5t'\end{array} \right.\).
A. \(\left( {6;5} \right).\)
B. \(\left( {0;0} \right).\)
C. \(\left( { - 5;4} \right).\)
D. \(\left( {2;5} \right).\)
Phương pháp
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ hai phương trình đường thẳng trên.
Lời giải
Chọn B
Giải hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}22 + 2t = 12 + 4t'\\55 + 5t = - 15 - 5t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 11\\t' = - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 0\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là \(\left( {0;0} \right)\).
Câu 12. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(A(2; - 1),{\rm{ }}B\left( {2;5} \right)\) là
A. \(x + y - 1 = 0.\) B. \(2x - 7y + 9 = 0.\) C. \(x + 2 = 0.\) D. \(x - 2 = 0.\)
Phương pháp
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A({x_0},{y_0})\) và VTPT \(\vec n = \left( {a;b} \right)\), có phương trình \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)
Lời giải
Chọn D
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;6} \right).\) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(2; - 1)\) và VTPT \(\vec n = \left( { - 6;0} \right)\), có phương trình
\( - 6\left( {x - 2} \right) + 0\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0.\)
Câu 13. Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;0} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\end{array} \right.\) là
A. \(\frac{2}{5}.\)
B. \(2.\)
C. \(\frac{{10}}{{\sqrt 5 }}.\)
D. \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)
Phương pháp
Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Lời giải
Chọn B
Ta có: \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{x - 1}}{3}\\t = \frac{{y - 2}}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{4}\)\( \Leftrightarrow 4x - 3y + 2 = 0\)
Suy ra \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.2 - 3.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 2\).
Câu 14. Góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:x + 2y + 4 = 0\) và \({d_2}:x--3y + 6 = 0\)là
A. \(30^\circ .\) B. \(60^\circ .\) C. \(45^\circ .\) D. \(135^\circ .\)
Phương pháp
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có: \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\).
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\) có VTPT tương ứng là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)\).
Ta có: \(\cos \left( {{d_1},\,{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 5} \right|}}{{\sqrt {50} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {{d_1},\,{d_2}} \right) = 45^\circ .\)
Câu 15. Cho đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 4 = 0\). Tâm của đường tròn có tọa độ là
A. \(\left( { - 5;\,\,4} \right).\) B. \(\left( {4;\,\, - 5} \right).\) C. \(\left( { - \frac{5}{2};\,\,2} \right).\) D. \(\left( { - \frac{5}{2};\,\, - 2} \right).\)
Phương pháp
Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm và bán kính được tính bằng công thức \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)
Lời giải
Chọn C
Từ phương trình tổng quát của \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 4 = 0\) ta suy ra \(a = - \frac{5}{2}\), \(b = 2\). Vậy tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(\left( { - \frac{5}{2};\,\,2} \right)\)
Câu 16. Phương trình nào là sau đây là phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\), bán kính \(R = 2?\)
A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 4 = 0.\)
B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4.\)
C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 4.\)
D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 2.\)
Phương pháp
Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là :\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)
Lời giải
Chọn A
Phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\) và bán kính \(R = 2\)có dạng :
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\).
Câu 17. Cho hai điểm \(A\left( {1;1} \right){\rm{, }}B\left( {7;5} \right)\). Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là
A. \({x^2} + {y^2} + 8x + 6y + 12 = 0.\)
B. \({x^2} + {y^2} + 8x + 6y - 12 = 0.\)
C. \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y - 12 = 0.\)
D. \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 12 = 0.\)
Phương pháp
Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là :\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)
Lời giải
Chọn D
Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 7}}{2} = 4\\{y_I} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {4;3} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {6;4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{6^2} + {4^2}} = 2\sqrt {13} \)
Đường tròn \(\left( C \right)\) có đường kính \(AB \Rightarrow \) \(\left( C \right)\) có tâm \(I\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt {13} \)
Nên phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 12 = 0\)
Câu 18. Một đường tròn có tâm \(I(1;3)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x + 4y = 0\). Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu?
A. \(\frac{3}{5}.\) B. \(1.\) C. \(3.\) D. \(15.\)
Phương pháp
Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Lời giải
Chọn C
Gọi \(R\)là bán kính fđường tròn, ta có: \(R = d(I;\Delta ) = \frac{{\left| {3.1 + 3.4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\)
Câu 19. Tìm các tiêu điểm của\(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1.\)
A. \({F_1}\left( { - 3;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - 3} \right).\)
B. \({F_1}\left( {3;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - 3} \right).\)
C. \({F_1}\left( { - \sqrt 8 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {\sqrt 8 ;0} \right).\)
D. \({F_1}\left( {\sqrt 8 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - \sqrt 8 } \right).\)
Phương pháp
Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có tiêu điểm : \({F_1}\left( { - c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\)
Lời giải
Chọn C
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1\end{array} \right.\). Mà \({a^2} = {b^2} + {c^2} \Rightarrow {c^2} = 8 \Rightarrow c = \sqrt 8 \)
Công thức tiêu điểm : \({F_1}\left( { - c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\)\( \Rightarrow \) \({F_1}\left( { - \sqrt 8 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {\sqrt 8 ;0} \right)\)
Câu 20. Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm \(A\left( {6;0} \right)\) và có tâm sai bằng \(\frac{1}{2}?\)
A. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{\rm{6}}} + \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{3}}} = 1.\)
B. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{36}}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{27}}}} = 1.\)
C. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{36}}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{18}}}} = 1.\)
D. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{\rm{6}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{2}}} = 1.\)
Phương pháp
Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Lời giải
Chọn B
Giả sử elip có phương trình tổng quát là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Do \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(A\left( {6;0} \right)\) và có tâm sai bằng \(\frac{1}{2}\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{36}}{{{a^2}}} = 1\\e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 36\\c = \frac{1}{2}a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 36\\{c^2} = \frac{1}{4}{a^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 36\\{b^2} = 27\end{array} \right. \Rightarrow \left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{27}} = 1\)
Câu 21. Một hộp có chứa 7 bóng đèn màu đỏ và 4 bóng đèn màu xanh. Số tất cả các cách chọn một bóng đèn trong hộp là
A. \(11.\) B. \(7.\) C. \(4.\) D. \(28.\)
Phương pháp
Áp dụng quy tắc cộng
Lời giải
Chọn A
Để chọn 1 bóng đèn trong hộp có 2 trường hợp:
TH1: Nếu chọn màu đỏ có 7 cách
TH2: Nếu chọn màu xanh có 4 cách
Vậy có 11 cách chọn.
Câu 22. Một hộp có 3 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Số cách lấy ra hai viên bi, trong đó có 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh bằng
A. \(81.\) B. \(7.\) C. \(12.\) D. \(64.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức tổ hợp
Lời giải
Chọn C
Số cách lấy ra hai viên bi, trong đó có 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh là \(C_3^1.C_4^1\)\( = 3.4\)\( = 12\)
Câu 23. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một phân biệt và chia hết cho \(5\)?
A. \(136.\) B. \(128.\) C. \(256.\) D. \(1458.\)
Phương pháp
Áp dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân
Lời giải
Chọn A
Gọi \(x = \overline {abc} \)(với \(a \ne b,\,\,b \ne c,\,\,c \ne a\)) là số tự nhiên có 3 chữ số đôi một phân biệt và chia hết cho \(5\). Vì \(x \vdots 5\)nên \(c \in \left\{ {0;5} \right\}\)
TH1: \(c = 0\)
+ Chọn \(c\): có 1 cách.
+ Chọn \(a\): có 9 cách (\(a \ne 0\)).
+ Chọn \(b\): có 8 cách (\(b \ne 0,b \ne a\)).
\( \Rightarrow \)có \(1.9.8 = 72\)số.
TH2: \(c = 5\)
+ Chọn \(c\): có 1 cách.
+ Chọn \(a\): có 8 cách (\(a \ne 5,\,a \ne 0\)).
+ Chọn \(b\): có 8 cách (\(b \ne 5,b \ne a\)).
\( \Rightarrow \)có \(1.8.8 = 64\)số.
Theo quy tắc cộng, ta có tất cả: \(72 + 64 = 136\)số thỏa ycbt.
Câu 24. Số cách xếp \(10\) học sinh thành một hàng dọc là
A. \(5!.5!.\) B. \(10!.\) C. \(10.\) D. \(25.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức hoán vị
Lời giải
Chọn B
Mỗi cách xếp hàng là một hoán vị của \(10\)phần tử
Vậy có \(10!\)cách xếp hàng.
Câu 25. Cho tập hợp \(X = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Từ tập \(X\) lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?
A. \(100.\) B. \(60.\) C. \(120.\) D. \(125.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức chỉnh hợp
Lời giải
Chọn B
Mỗi số cần lập là một chỉnh hợp chập 3 của 5. Vậy có \(A_5^3 = 60\) số.
Câu 26. Trên một đường tròn có \(8\) điểm phân biệt. Số tam giác nhận \(3\) trong số \(8\) điểm đó làm đỉnh là
A. \(58.\) B. \(56.\) C. \(54.\) D. \(52.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức tổ hợp
Lời giải
Chọn B
Mỗi tam giác tìm được tương ứng với một tổ hợp chập \(3\) của \(8\) phần tử.
Vậy số tam giác là: \(C_8^3 = 56\).
Câu 27. Trong một trận chung kết bóng đá cần phải đá luân lưu 11 mét để phân định thắng thua, huấn luyện viên cần trình với trọng tài một danh sách 3 cầu thủ trong 7 cầu thủ đang có trên sân để lần lượt theo thứ tự đá đủ 3 quả sút luân lưu (mỗi cầu thủ đá đúng một lần). Huấn luyện viên có tất cả bao nhiêu cách chọn?
A. \(70.\) B. \(2187.\) C. \(823543.\) D. \(210.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức chỉnh hợp
Lời giải
Chọn D
Mỗi cách chọn ra 3 cầu thủ trong 7 cầu thủ để thực hiện đá luân lưu ?là một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử.
Vậy số cách chọn là \(A_7^3 = 210\)cách.
Câu 28. Có \(3\) nam và \(3\) nữ xếp thành một hàng. Số cách sắp xếp để nam nữ đứng xen kẽ là:
A. \(36.\) B. \(72.\) C. \(144.\) D. \(720.\)
Phương pháp
Áp dụng các quy tắc đếm
Lời giải
Chọn B
Đánh số thứ tự xếp hàng từ 1 đến 6.
TH1: Nam số chẵn, nữ số lẻ.
+ Xếp 3 nam vào 3 vị trí đánh số chẵn, có \(3!\) cách xếp.
+ Xếp 3 nữ vào vào 3 vị trí đánh số lẻ, có \(3!\) cách xếp.
Vậy TH1 có \(3!.3! = 36\) cách.
TH2: Nam số lẻ, nữ số chẵn.
Tương tự TH1, trong TH2 có 36 cách xếp.
Vậy có \(36 + 36 = 72\) cách xếp.
Câu 29. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {2x - 3} \right)^{2018}}\)?
A. \(2019.\) B. \(2017.\) C. \(2018.\) D. \(2020.\)
Phương pháp
Áp dụng Khai triển nhị thức Newton.
Lời giải
Chọn A
Trong khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^n}\) thì số các số hạng là \(n + 1\) nên trong khai triển \({\left( {2x - 3} \right)^{2018}}\) có \(2019\) số hạng.
Câu 30. Xét phép thử tung con súc sắc \(6\) mặt hai lần. Biến cố \(A:\) “ số chấm xuất hiện ở cả hai lần tung giống nhau”
A. \(n\left( A \right) = 6.\)
B. \(n\left( A \right) = 36.\)
C. \(n\left( A \right) = 16.\)
D. \(n\left( A \right) = 12.\)
Phương pháp
Áp dụng quy tắc đếm
Lời giải
Chọn A
Ta có số chấm xuất hiện ở cả hai lần tung giống nhau
\(A = \left\{ {\left( {1;1} \right),\,\left( {2;2} \right),\,\left( {3;3} \right),\,\left( {4;4} \right),\,\left( {5;5} \right),\left( {6;6} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 6\).
Câu 31. Rút ngẫu nhiên cùng lúc ba con bài từ cỗ bài tú lơ khơ \(52\) con thì \(n\left( \Omega \right)\) bằng bao nhiêu?
A. \(140608.\) B. \(156.\) C. \(132600.\) D. \(22100.\)
Phương pháp
Áp dụng csc quy tắc đếm
Lời giải
Chọn D
Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{52}^3 = 22100\).
Câu 32. Gieo một đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp hai lần. Tính xác suất để cả hai lần gieo đều được mặt sấp.
A. \(\frac{1}{4}.\) B. \(\frac{1}{6}.\) C. \(\frac{1}{8}.\) D. \(\frac{1}{2}.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức tính xác suất.
Lời giải
Chọn A
Gọi \(\Omega \) là không gian mẫu. Gieo một đồng xu hai lần liên tiếp nên \(n\left( \Omega \right) = 2.2 = 4.\)
Gọi \(A\)” Cả hai lần gieo đều mặt sấp” nên \(n\left( A \right) = 1.1 = 1.\)
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{4}.\)
Câu 33. Một đoàn đại biểu gồm \(5\)người được chọn ra từ một tổ gồm \(8\)nam và \(7\)nữ để tham dự hội nghị. Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng \(2\)người nữ là
A. \(\frac{{56}}{{143}}.\)
B. \(\frac{{140}}{{429}}.\)
C. \(\frac{1}{{143}}.\)
D. \(\frac{{28}}{{715}}.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức tính xác suất.
Lời giải
Chọn A
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{15}^5\).
Gọi biến cố \(A\): “Chọn được đoàn đại biểu có đúng \(2\)người nữ”
\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_7^2.C_8^3\).
Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{56}}{{143}}\)
Câu 34. Đội văn nghệ của lớp có \(5\) bạn nam và \(7\) bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên \(5\) bạn tham gia biểu diễn, xác suất để trong \(5\) bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số nam nhiều hơnsố nữ bằng:
A. \(\frac{{245}}{{792}}.\)
B. \(\frac{{210}}{{792}}.\)
C. \(\frac{{547}}{{792}}.\)
D. \(\frac{{582}}{{792}}.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức tính xác suất.
Lời giải
Chọn A
Số phần tử không gian mẫu là số cách chọn \(5\) bạn trong \(12\) bạn, do đó \(\left| \Omega \right| = C_{12}^5\).
Để chọn các bạn thỏa bài toán có các phương án:
+ Chọn được \(3\) bạn nam, \(2\) bạn nữ: \(C_5^3.C_7^2\).
+ Chọn được \(4\) bạn nam, \(1\) bạn nữ: \(C_5^4.C_7^1\).
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố là \(C_5^3.C_7^2 + C_5^4.C_7^1\).
Xác suất \(\frac{{C_5^3.C_7^2 + C_5^4.C_7^1}}{{C_{12}^5}} = \frac{{245}}{{792}}\).
Câu 35. Gieo con súc sắc hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm:
A. \(A = \left\{ {\left( {1;6} \right),\,\left( {2;6} \right),\,\left( {3;6} \right),\,\left( {4;6} \right),\,\left( {5;6} \right)} \right\}.\)
B. \(A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right)} \right\}.\)
C. \(A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right),\,\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}.\)
D. \(A = \left\{ {\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}.\)
Phương pháp
Áp dụng các quy tắc đếm
Lời giải
Chọn C
Liệt kê ta có: \(A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right),\,\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}\).
II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)
Câu 36. Trong mặt phẳng \(Oxy\), viết phương trình chính tắc của elip \(\left( E \right)\) biết \(\left( E \right)\) đi qua \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và \(M\) nhìn hai tiêu điểm \({F_1},\,{F_2}\) dưới một góc vuông.
Phương pháp
Áp dụng công thức của Elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Lời giải
Gọi \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Ta có: \(\left( E \right)\) đi qua \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) nên: \(\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\) \( \Leftrightarrow \,\,16{a^2} + 9{b^2} = 5{a^2}{b^2}\)\(\left( 1 \right)\)
Vì \(M\) nhìn hai tiêu điểm \({F_1},\,{F_2}\) dưới một góc vuông nên: \(OM = \frac{{{F_1}{F_2}}}{2} = c\)
\( \Leftrightarrow \,\,O{M^2} = {c^2}\) \( \Leftrightarrow \,\,\frac{9}{5} + \frac{{16}}{5} = {c^2}\) \( \Leftrightarrow \,\,{a^2} - {b^2} = {c^2} = 5\) \( \Leftrightarrow \,\,{a^2} = 5 + {b^2}\) thế vào \(\left( 1 \right)\) ta được:
\(16\left( {5 + {b^2}} \right) + 9{b^2} = 5\left( {5 + {b^2}} \right){b^2}\) \( \Leftrightarrow \,\,{b^4} = 16\) \( \Rightarrow \,\,{b^2} = 4\) nên \({a^2} = 9\)
Vậy: \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)
Câu 37. Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\)trong khai triển Nhị thức Niu tơn: \({\left( {\frac{n}{{2x}} + \frac{x}{2}} \right)^{2n}}\)\(\left( {x \ne 0} \right)\), biết số nguyên dương \(n\)thỏa mãn \(C_n^3 + A_n^2 = 50.\)
Phương pháp
Sử dụng công thức khai triển Newton
Lời giải
Ta có \(C_n^3 + A_n^2 = 50\)\(\left( {n \ge 3,n \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Rightarrow \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}}\)\( + \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 50\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{1} = 50\)\( \Leftrightarrow {n^3} + 3{n^2} - 4n - 300 = 0\)\( \Leftrightarrow n = 6\)
Khi đó khai triển \({\left( {\frac{n}{{2x}} + \frac{x}{2}} \right)^{12}}\)có số hạng tổng quát \(C_{12}^k{3^{12 - k}}{.2^{ - k}}.{x^{2k - 12}}\)\(\left( {k \in \mathbb{N},k \le 12} \right)\)
Số hạng chứa \({x^8}\)\( \Rightarrow 2k - 12 = 8\)\( \Leftrightarrow k = 10\)
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) là : \(C_{12}^{10}{.3^2}{.2^{ - 10}}\)\( = \frac{{297}}{{512}}.\)
Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) lần lượt có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {3^2}\) và \(3x + 4y + 1 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \), biết \(\Delta \) cắt \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài lớn nhất và \(\Delta \) tạo với \(d\) một góc \(45^\circ \).
Phương pháp
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có: \(\cos \left( {a,b} \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\).
Lời giải
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,2} \right)\), bán kính \(R = 3\)
Vì \(\Delta \) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài lớn nhất nên \(\Delta \) đi qua tâm \(I\)
Gọi \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {a;\,b} \right)\) là vecto pháp tuyến của \(\Delta \)
Suy ra \(\Delta :a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(\Delta :ax + by - a - 2b = 0\)
\(d\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {3;\,4} \right)\)
Ta có: \(\cos \left( {d,\,\Delta } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_d}} ,\,\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right)} \right|\)\( = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|}}\)
\( \Leftrightarrow \cos 45^\circ = \frac{{\left| {3a + 4b} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {3a + 4b} \right|}}{{5.\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)\( \Leftrightarrow 5\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 2 \left| {3a + 4b} \right|\)
\( \Leftrightarrow 7{a^2} - 48ab - 7{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 7b\\a = - \frac{1}{7}b\end{array} \right.\)
+) Với \(a = 7b\). Ta chọn \(b = 1\), \(a = 7\). Suy ra \(\Delta :7x + y - 9 = 0\)
+) Với \(a = - \frac{1}{7}b\). Ta chọn \(b = - 7\), \(a = 1\). Suy ra \(\Delta :x - 7y + 13 = 0\)
Câu 39. Một tổ có 10 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có 2 học sinh tên An và Tâm và 6 học sinh nam. Xếp 10 học sinh trong tổ ngồi thành một hàng dọc. Tính xác suất để chỉ có hai học sinh nữ An và Tâm ngồi cạnh nhau còn các học sinh nữ khác không ngồi cạnh nhau đồng thời cũng không ngồi cạnh An và Tâm.
Phương pháp
Sử dụng các quy tắc đếm.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách sắp xếp 10 học sinh ngồi theo hàng dọc: \(n(\Omega ) = 10!\)
Gọi biến cố A: “10 học sinh ngồi thành hàng dọc mà chỉ có An và Tâm ngồi cạnh nhau còn các học sinh khác không ngồi cạnh nhau và không ngồi cạnh An và Tâm”
Ta xem An và Tâm như một nhóm X.
Số cách sắp xếp trong nhóm X là: 2!
Số cách sắp xếp 6 bạn nam thành một hàng dọc là: 6!
Để xảy ra biến cố A, ta xếp nhóm X và hai bạn nữ còn lại vào 7 khoảng trống do 6 bạn nam tạo ra sao cho X và hai bạn nữ không tạo thành cặp gần nhau. Số cách là: \(A_7^3\)
Vậy: \(n(A) = 2.6!A_7^3\)
Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{2.6!.A_7^3}}{{10!}} = \frac{1}{{12}}.\)
---------------------------------------------------HẾT ---------------------------------------------------
Tải về
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).
Câu 1. Tập xác định của hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 2\) là
A. \(\left( {0\,; + \infty } \right).\)
B. \(\left( { - \infty \,;\,0} \right) \cup \left( {0\,; + \infty } \right).\)
C. \(\left( { - \infty \,;\,0} \right).\)
D. \(\left( { - \infty \,; + \infty } \right).\)
Câu 2. Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x - 1} + \frac{1}{{x + 4}}\) là
A. \(\left[ {1; + \infty } \right).\)
B. \(\left[ {1; + \infty } \right).\)
C. \(\left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 4 \right\}.\)
D. \(\left( { - 4; + \infty } \right).\)
Câu 3. Cho hàm số \(.y = {x^2} + 2x - 3\) có đồ thị là parabol\((P)\). Trục đối xứng của \((P)\) là
A. \(x = - 1.\)
B. \(x = 1.\)
C. \(x = 2.\)
D. \(x = - 2.\)
Câu 4. Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị \(\left( P \right)\) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\;3} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {3;\; + \infty } \right).\)
B. \(\left( P \right)\) có đỉnh là \(I\left( {3;4} \right).\)
C. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1.\)
D. Đồ thị cắt trục hoành tại \(2\) điểm phân biệt.
Câu 5. Cho tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right),\) \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Ta có \(f\left( x \right) \le 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)khi và chỉ khi:
A. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}a \le 0\\\Delta < 0\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right..\)
Câu 6. Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 2\) nhận giá trị không âm khi và chỉ khi
A. \(x \in \left( { - \infty \,;1} \right] \cup \left[ {2\,; + \infty } \right).\)
B. \(x \in \left[ {1\,;2} \right].\)
C. \(x \in \left( {1\,;2} \right).\)
D. \(x \in \left( { - \infty \,;1} \right) \cup \left( {2\,; + \infty } \right).\)
Câu 7. Tập nghiệm \(S\) của phương trình\(\sqrt {2x - 3} = x - 3\)là
A. \(S = \left\{ {6;2} \right\}.\)
B. \(S = \left\{ 2 \right\}.\)
C. \(S = \left\{ 6 \right\}.\)
D. \(S = \emptyset .\)
Câu 8. Giải phương trình sau:\(\sqrt { - {x^2} + 7x - 6} = \sqrt {x + 2} \)
A. \(S = \left\{ 4 \right\}.\)
B. \(S = \left\{ 2 \right\}.\)
C. \(S = \left\{ {2;4} \right\}.\)
D. \(S = \emptyset .\)
Câu 9. Đường thẳng đi qua \(A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\), nhận \(\overrightarrow n = (2; - 4)\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình là
A. \(x--2y--4 = 0.\)
B. \(x + y + 4 = 0.\)
C. \(--{\rm{ }}x + 2y--4 = 0.\)
D. \(x--2y + 5 = 0.\)
Câu 10. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A(3; - 6)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = (4; - 2)\) là
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 6 - t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 4t\\y = 3 - 2t\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 4t\\y = 1 - 2t\end{array} \right..\)
Câu 11. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sau đây: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 12 + 4t'\\y = - 15 - 5t'\end{array} \right.\).
A. \(\left( {6;5} \right).\)
B. \(\left( {0;0} \right).\)
C. \(\left( { - 5;4} \right).\)
D. \(\left( {2;5} \right).\)
Câu 12. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(A(2; - 1),{\rm{ }}B\left( {2;5} \right)\) là
A. \(x + y - 1 = 0.\)
B. \(2x - 7y + 9 = 0.\)
C. \(x + 2 = 0.\)
D. \(x - 2 = 0.\)
Câu 13. Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;0} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\end{array} \right.\) là
A. \(\frac{2}{5}.\)
B. \(2.\)
C. \(\frac{{10}}{{\sqrt 5 }}.\)
D. \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)
Câu 14. Góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:x + 2y + 4 = 0\) và \({d_2}:x--3y + 6 = 0\)là
A. \(30^\circ .\)
B. \(60^\circ .\)
C. \(45^\circ .\)
D. \(135^\circ .\)
Câu 15. Cho đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 4 = 0\). Tâm của đường tròn có tọa độ là
A. \(\left( { - 5;\,\,4} \right).\)
B. \(\left( {4;\,\, - 5} \right).\)
C. \(\left( { - \frac{5}{2};\,\,2} \right).\)
D. \(\left( { - \frac{5}{2};\,\, - 2} \right).\)
Câu 16. Phương trình nào là sau đây là phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\), bán kính \(R = 2?\)
A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 4 = 0.\)
B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4.\)
C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 4.\)
D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 2.\)
Câu 17. Cho hai điểm \(A\left( {1;1} \right){\rm{, }}B\left( {7;5} \right)\). Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là
A. \({x^2} + {y^2} + 8x + 6y + 12 = 0.\)
B. \({x^2} + {y^2} + 8x + 6y - 12 = 0.\)
C. \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y - 12 = 0.\)
D. \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 12 = 0.\)
Câu 18. Một đường tròn có tâm \(I(1;3)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x + 4y = 0\). Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu?
A. \(\frac{3}{5}.\)
B. \(1.\)
C. \(3.\)
D. \(15.\)
Câu 19. Tìm các tiêu điểm của\(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1.\)
A. \({F_1}\left( { - 3;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - 3} \right).\)
B. \({F_1}\left( {3;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - 3} \right).\)
C. \({F_1}\left( { - \sqrt 8 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {\sqrt 8 ;0} \right).\)
D. \({F_1}\left( {\sqrt 8 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - \sqrt 8 } \right).\)
Câu 20. Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm \(A\left( {6;0} \right)\) và có tâm sai bằng \(\frac{1}{2}?\)
A. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{\rm{6}}} + \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{3}}} = 1.\)
B. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{36}}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{27}}}} = 1.\)
C. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{36}}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{18}}}} = 1.\)
D. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{\rm{6}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{2}}} = 1.\)
Câu 21. Một hộp có chứa 7 bóng đèn màu đỏ và 4 bóng đèn màu xanh. Số tất cả các cách chọn một bóng đèn trong hộp là
A. \(11.\)
B. \(7.\)
C. \(4.\)
D. \(28.\)
Câu 22. Một hộp có 3 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Số cách lấy ra hai viên bi, trong đó có 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh bằng
A. \(81.\)
B. \(7.\)
C. \(12.\)
D. \(64.\)
Câu 23. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một phân biệt và chia hết cho \(5\)?
A. \(136.\)
B. \(128.\)
C. \(256.\)
D. \(1458.\)
Câu 24. Số cách xếp \(10\)học sinh thành một hàng dọc là
A. \(5!.5!.\)
B. \(10!.\)
C. \(10.\)
D. \(25.\)
Câu 25.Cho tập hợp \(X = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Từ tập \(X\) lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?
A. \(100.\)
B. \(120.\)
C. \(60.\)
D. \(125.\)
Câu 26. Trên một đường tròn có \(8\) điểm phân biệt. Số tam giác nhận \(3\) trong số \(8\) điểm đó làm đỉnh là
A. \(58.\)
B. \(56.\)
C. \(54.\)
D. \(52.\)
Câu 27. Trong một trận chung kết bóng đá cần phải đá luân lưu 11 mét để phân định thắng thua, huấn luyện viên cần trình với trọng tài một danh sách 3 cầu thủ trong 7 cầu thủ đang có trên sân để lần lượt theo thứ tự đá đủ 3 quả sút luân lưu (mỗi cầu thủ đá đúng một lần). Huấn luyện viên có tất cả bao nhiêu cách chọn?
A. \(70.\)
B. \(2187.\)
C. \(823543.\)
D. \(210.\)
Câu 28. Có \(3\) nam và \(3\) nữ xếp thành một hàng. Số cách sắp xếp để nam nữ đứng xen kẽ là:
A. \(36.\)
B. \(72.\)
C. \(144.\)
D. \(720.\)
Câu 29. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {2x - 3} \right)^{2018}}\)?
A. \(2019.\)
B. \(2017.\)
C. \(2018.\)
D. \(2020.\)
Câu 30. Xét phép thử tung con súc sắc \(6\) mặt hai lần. Biến cố \(A:\) “ số chấm xuất hiện ở cả hai lần tung giống nhau”
A. \(n\left( A \right) = 6.\)
B. \(n\left( A \right) = 36.\)
C. \(n\left( A \right) = 16.\)
D. \(n\left( A \right) = 12.\)
Câu 31. Rút ngẫu nhiên cùng lúc ba con bài từ cỗ bài tú lơ khơ \(52\) con thì \(n\left( \Omega \right)\) bằng bao nhiêu?
A. \(140608.\)
B. \(156.\)
C. \(132600.\)
D. \(22100.\)
Câu 32. Gieo một đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp hai lần. Tính xác suất để cả hai lần gieo đều được mặt sấp.
A. \(\frac{1}{4}.\)
B. \(\frac{1}{6}.\)
C. \(\frac{1}{8}.\)
D. \(\frac{1}{2}.\)
Câu 33. Một đoàn đại biểu gồm \(5\)người được chọn ra từ một tổ gồm \(8\)nam và \(7\)nữ để tham dự hội nghị. Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng \(2\)người nữ là
A. \(\frac{{56}}{{143}}.\)
B. \(\frac{{140}}{{429}}.\)
C. \(\frac{1}{{143}}.\)
D. \(\frac{{28}}{{715}}.\)
Câu 34. Đội văn nghệ của lớp có \(5\) bạn nam và \(7\) bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên \(5\) bạn tham gia biểu diễn, xác suất để trong \(5\) bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số nam nhiều hơnsố nữ bằng:
A. \(\frac{{245}}{{792}}.\)
B. \(\frac{{210}}{{792}}.\)
C. \(\frac{{547}}{{792}}.\)
D. \(\frac{{582}}{{792}}.\)
Câu 35. Gieo con xúc xắc hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm:
A. \(A = \left\{ {\left( {1;6} \right),\,\left( {2;6} \right),\,\left( {3;6} \right),\,\left( {4;6} \right),\,\left( {5;6} \right)} \right\}.\)
B. \(A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right)} \right\}.\)
C. \(A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right),\,\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}\)
D. \(A = \left\{ {\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}.\)
II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)
Câu 36. Trong mặt phẳng \(Oxy\), viết phương trình chính tắc của elip \(\left( E \right)\) biết \(\left( E \right)\) đi qua \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và \(M\) nhìn hai tiêu điểm \({F_1},\,{F_2}\) dưới một góc vuông.
Câu 37. Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\)trong khai triển Nhị thức Niu tơn: \({\left( {\frac{n}{{2x}} + \frac{x}{2}} \right)^{2n}}\)\(\left( {x \ne 0} \right)\), biết số nguyên dương \(n\)thỏa mãn \(C_n^3 + A_n^2 = 50.\)
Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) lần lượt có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {3^2}\) và \(3x + 4y + 1 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \), biết \(\Delta \) cắt \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài lớn nhất và \(\Delta \) tạo với \(d\) một góc \(45^\circ \).
Câu 39. Một tổ có 10 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có 2 học sinh tên An và Tâm và 6 học sinh nam. Xếp 10 học sinh trong tổ ngồi thành một hàng dọc. Tính xác suất để chỉ có hai học sinh nữ An và Tâm ngồi cạnh nhau còn các học sinh nữ khác không ngồi cạnh nhau đồng thời cũng không ngồi cạnh An và Tâm.
-----------------HẾT ---------------
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).
Câu 1. Tập xác định của hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 2\) là
A. \(\left( {0\,; + \infty } \right).\)
B. \(\left( { - \infty \,;\,0} \right) \cup \left( {0\,; + \infty } \right).\)
C. \(\left( { - \infty \,;\,0} \right).\)
D. \(\left( { - \infty \,; + \infty } \right).\)
Phương pháp
- Hàm đa thức có tập xác định \(D = \left( { - \infty \,; + \infty } \right).\)
Lời giải
Chọn D
Ta có hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 2\) là hàm đa thức nên có tập xác định \(D = \left( { - \infty \,; + \infty } \right).\)
Câu 2. Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x - 1} + \frac{1}{{x + 4}}\) là
A. \(\left[ {1; + \infty } \right).\)
B. \(\left[ {1; + \infty } \right).\)
C. \(\left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 4 \right\}.\)
D. \(\left( { - 4; + \infty } \right).\)
Phương pháp
- Căn thức xác định khi biểu thức trong căn lớn hơn bằng 0.
- Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0
Lời giải
Chọn B
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x + 4 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne - 4\end{array} \right.\)
Câu 3. Cho hàm số \(.y = {x^2} + 2x - 3\) có đồ thị là parabol\((P)\). Trục đối xứng của \((P)\) là
A. \(x = - 1.\) B. \(x = 1.\) C. \(x = 2.\) D. \(x = - 2.\)
Phương pháp
\((P)\)có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)
Lời giải
Chọn A
\((P)\)có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}} = - 1\)
Câu 4. Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị \(\left( P \right)\) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\;3} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {3;\; + \infty } \right).\)
B. \(\left( P \right)\) có đỉnh là \(I\left( {3;4} \right).\)
C. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1.\)
D. Đồ thị cắt trục hoành tại \(2\) điểm phân biệt.
Phương pháp
- Dựa vào hình vẽ và các công thức của Parabol
Lời giải
Chọn C
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right) \Rightarrow \) Loại A
Đỉnh \(I\left( {3;4} \right) \Rightarrow \) Loại B
Trục tung \(x = 0,\)ta có \(y > 1\) \( \Rightarrow \) C sai.
Hiển nhiên D đúng.
Câu 5. Cho tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right),\) \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Ta có \(f\left( x \right) \le 0\) với \(\forall x \in R\)khi và chỉ khi:
A. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}a \le 0\\\Delta < 0\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right..\)
Phương pháp
Sử dụng dấu của tam thức bậc hai.
Lời giải
Chọn A
Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có: \(f\left( x \right) \le 0\) với \(\forall x \in R\)khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\)
Câu 6. Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 2\) nhận giá trị không âm khi và chỉ khi
A. \(x \in \left( { - \infty \,;1} \right] \cup \left[ {2\,; + \infty } \right).\)
B. \(x \in \left[ {1\,;2} \right].\)
C. \(x \in \left( {1\,;2} \right).\)
D. \(x \in \left( { - \infty \,;1} \right) \cup \left( {2\,; + \infty } \right).\)
Phương pháp
Sử dụng dấu của tam thức bậc hai.
Lời giải
Chọn B
\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Bảng xét dấu \(f\left( x \right)\)
\(x\) | \( - \infty \) 1 2 \( + \infty \) |
\(f(x)\) | - + - |
Vậy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {1{\mkern 1mu} ;2} \right]\)
Câu 7. Tập nghiệm \(S\) của phương trình\(\sqrt {2x - 3} = x - 3\)là
A. \(S = \left\{ {6;2} \right\}.\)
B. \(S = \left\{ 2 \right\}.\)
C. \(S = \left\{ 6 \right\}.\)
D. \(S = \emptyset .\)
Phương pháp
Bình phương hai vế của phương trình
Lời giải.
Chọn C
Ta có :\(\sqrt {2x - 3} = x - 3 \Rightarrow {(\sqrt {2x - 3} )^2} = {(x - 3)^2} \Leftrightarrow 3x - 3 = {x^2} - 6x + 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right.\)
Thử nghiệm :
Thay \(x = 2\) vào phương trình ta được \(\sqrt {2.2 - 3} = 2 - 3\) (sai).
Thay \(x = 6\) vào phương trình ta được \(\sqrt {2.6 - 3} = 6 - 3\) (đúng).
Vậy \(x = 6\) là nghiệm của phương trình.
Câu 8. Giải phương trình sau:\(\sqrt { - {x^2} + 7x - 6} = \sqrt {x + 2} \)
A. \(S = \left\{ 4 \right\}.\)
B. \(S = \left\{ 2 \right\}.\)
C. \(S = \left\{ {2;4} \right\}.\)
D. \(S = \emptyset .\)
Phương pháp
Bình phương hai vế của phương trình
Lời giải.
Chọn C
Ta có: \(\sqrt { - {x^2} + 7x - 6} = \sqrt {x + 2} \Rightarrow {(\sqrt { - {x^2} + 7x - 6} )^2} = {(\sqrt {x + 2} )^2} \Leftrightarrow - {x^2} + 7x - 6 = x + 2\)
\( \Leftrightarrow - {x^2} + 6x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\)
Thay 2 giá trị x tìm được vào phương trình đã cho ta thấy \(x = 4\); \(x = 2\)đều thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm \(x = 4\); \(x = 2\)
Câu 9. Đường thẳng đi qua \(A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\), nhận \(\overrightarrow n = (2; - 4)\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình là
A. \(x--2y--4 = 0.\)
B. \(x + y + 4 = 0.\)
C. \(--{\rm{ }}x + 2y--4 = 0.\)
D. \(x--2y + 5 = 0.\)
Phương pháp
Phương trình đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)có VTPT là \(\overrightarrow n = (a;b).\)
Lời giải
Chọn D
Đường thẳng đi qua \(A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\), nhận \(\overrightarrow n = (2; - 4)\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình là:
\(2\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0\).
Câu 10. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A(3; - 6)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = (4; - 2)\) là
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 6 - t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 4t\\y = 3 - 2t\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 4t\\y = 1 - 2t\end{array} \right..\)
Phương pháp
Đường thẳng cần viết phương trình đi qua \(A({x_0};{y_0})\)và vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u = (a,b)\) nên có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\)
Lời giải
Chọn A
Đường thẳng \(d\)có vtcp là \(\left( {4; - 2} \right)\) suy ra có vtcp là \(\left( {2; - 1} \right)\). Đường thẳng cần viết phương trình đi qua \(A(3; - 6)\)và vtcp là \(\left( {2; - 1} \right)\) nên có phương trình tham số\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 6 - t\end{array} \right.\).
Câu 11. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sau đây: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 12 + 4t'\\y = - 15 - 5t'\end{array} \right.\).
A. \(\left( {6;5} \right).\)
B. \(\left( {0;0} \right).\)
C. \(\left( { - 5;4} \right).\)
D. \(\left( {2;5} \right).\)
Phương pháp
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ hai phương trình đường thẳng trên.
Lời giải
Chọn B
Giải hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}22 + 2t = 12 + 4t'\\55 + 5t = - 15 - 5t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 11\\t' = - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 0\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là \(\left( {0;0} \right)\).
Câu 12. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(A(2; - 1),{\rm{ }}B\left( {2;5} \right)\) là
A. \(x + y - 1 = 0.\) B. \(2x - 7y + 9 = 0.\) C. \(x + 2 = 0.\) D. \(x - 2 = 0.\)
Phương pháp
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A({x_0},{y_0})\) và VTPT \(\vec n = \left( {a;b} \right)\), có phương trình \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)
Lời giải
Chọn D
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;6} \right).\) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(2; - 1)\) và VTPT \(\vec n = \left( { - 6;0} \right)\), có phương trình
\( - 6\left( {x - 2} \right) + 0\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0.\)
Câu 13. Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;0} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\end{array} \right.\) là
A. \(\frac{2}{5}.\)
B. \(2.\)
C. \(\frac{{10}}{{\sqrt 5 }}.\)
D. \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)
Phương pháp
Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Lời giải
Chọn B
Ta có: \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{x - 1}}{3}\\t = \frac{{y - 2}}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{4}\)\( \Leftrightarrow 4x - 3y + 2 = 0\)
Suy ra \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.2 - 3.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 2\).
Câu 14. Góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:x + 2y + 4 = 0\) và \({d_2}:x--3y + 6 = 0\)là
A. \(30^\circ .\) B. \(60^\circ .\) C. \(45^\circ .\) D. \(135^\circ .\)
Phương pháp
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có: \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\).
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\) có VTPT tương ứng là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)\).
Ta có: \(\cos \left( {{d_1},\,{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 5} \right|}}{{\sqrt {50} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {{d_1},\,{d_2}} \right) = 45^\circ .\)
Câu 15. Cho đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 4 = 0\). Tâm của đường tròn có tọa độ là
A. \(\left( { - 5;\,\,4} \right).\) B. \(\left( {4;\,\, - 5} \right).\) C. \(\left( { - \frac{5}{2};\,\,2} \right).\) D. \(\left( { - \frac{5}{2};\,\, - 2} \right).\)
Phương pháp
Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm và bán kính được tính bằng công thức \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)
Lời giải
Chọn C
Từ phương trình tổng quát của \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 4 = 0\) ta suy ra \(a = - \frac{5}{2}\), \(b = 2\). Vậy tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(\left( { - \frac{5}{2};\,\,2} \right)\)
Câu 16. Phương trình nào là sau đây là phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\), bán kính \(R = 2?\)
A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 4 = 0.\)
B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4.\)
C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 4.\)
D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 2.\)
Phương pháp
Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là :\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)
Lời giải
Chọn A
Phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\) và bán kính \(R = 2\)có dạng :
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\).
Câu 17. Cho hai điểm \(A\left( {1;1} \right){\rm{, }}B\left( {7;5} \right)\). Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là
A. \({x^2} + {y^2} + 8x + 6y + 12 = 0.\)
B. \({x^2} + {y^2} + 8x + 6y - 12 = 0.\)
C. \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y - 12 = 0.\)
D. \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 12 = 0.\)
Phương pháp
Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là :\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)
Lời giải
Chọn D
Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 7}}{2} = 4\\{y_I} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {4;3} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {6;4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{6^2} + {4^2}} = 2\sqrt {13} \)
Đường tròn \(\left( C \right)\) có đường kính \(AB \Rightarrow \) \(\left( C \right)\) có tâm \(I\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt {13} \)
Nên phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 12 = 0\)
Câu 18. Một đường tròn có tâm \(I(1;3)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x + 4y = 0\). Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu?
A. \(\frac{3}{5}.\) B. \(1.\) C. \(3.\) D. \(15.\)
Phương pháp
Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Lời giải
Chọn C
Gọi \(R\)là bán kính fđường tròn, ta có: \(R = d(I;\Delta ) = \frac{{\left| {3.1 + 3.4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\)
Câu 19. Tìm các tiêu điểm của\(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1.\)
A. \({F_1}\left( { - 3;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - 3} \right).\)
B. \({F_1}\left( {3;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - 3} \right).\)
C. \({F_1}\left( { - \sqrt 8 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {\sqrt 8 ;0} \right).\)
D. \({F_1}\left( {\sqrt 8 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {0; - \sqrt 8 } \right).\)
Phương pháp
Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có tiêu điểm : \({F_1}\left( { - c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\)
Lời giải
Chọn C
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1\end{array} \right.\). Mà \({a^2} = {b^2} + {c^2} \Rightarrow {c^2} = 8 \Rightarrow c = \sqrt 8 \)
Công thức tiêu điểm : \({F_1}\left( { - c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\)\( \Rightarrow \) \({F_1}\left( { - \sqrt 8 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {\sqrt 8 ;0} \right)\)
Câu 20. Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm \(A\left( {6;0} \right)\) và có tâm sai bằng \(\frac{1}{2}?\)
A. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{\rm{6}}} + \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{3}}} = 1.\)
B. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{36}}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{27}}}} = 1.\)
C. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{36}}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{18}}}} = 1.\)
D. \(\frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{\rm{6}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{2}}} = 1.\)
Phương pháp
Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Lời giải
Chọn B
Giả sử elip có phương trình tổng quát là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Do \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(A\left( {6;0} \right)\) và có tâm sai bằng \(\frac{1}{2}\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{36}}{{{a^2}}} = 1\\e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 36\\c = \frac{1}{2}a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 36\\{c^2} = \frac{1}{4}{a^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 36\\{b^2} = 27\end{array} \right. \Rightarrow \left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{27}} = 1\)
Câu 21. Một hộp có chứa 7 bóng đèn màu đỏ và 4 bóng đèn màu xanh. Số tất cả các cách chọn một bóng đèn trong hộp là
A. \(11.\) B. \(7.\) C. \(4.\) D. \(28.\)
Phương pháp
Áp dụng quy tắc cộng
Lời giải
Chọn A
Để chọn 1 bóng đèn trong hộp có 2 trường hợp:
TH1: Nếu chọn màu đỏ có 7 cách
TH2: Nếu chọn màu xanh có 4 cách
Vậy có 11 cách chọn.
Câu 22. Một hộp có 3 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Số cách lấy ra hai viên bi, trong đó có 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh bằng
A. \(81.\) B. \(7.\) C. \(12.\) D. \(64.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức tổ hợp
Lời giải
Chọn C
Số cách lấy ra hai viên bi, trong đó có 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh là \(C_3^1.C_4^1\)\( = 3.4\)\( = 12\)
Câu 23. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một phân biệt và chia hết cho \(5\)?
A. \(136.\) B. \(128.\) C. \(256.\) D. \(1458.\)
Phương pháp
Áp dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân
Lời giải
Chọn A
Gọi \(x = \overline {abc} \)(với \(a \ne b,\,\,b \ne c,\,\,c \ne a\)) là số tự nhiên có 3 chữ số đôi một phân biệt và chia hết cho \(5\). Vì \(x \vdots 5\)nên \(c \in \left\{ {0;5} \right\}\)
TH1: \(c = 0\)
+ Chọn \(c\): có 1 cách.
+ Chọn \(a\): có 9 cách (\(a \ne 0\)).
+ Chọn \(b\): có 8 cách (\(b \ne 0,b \ne a\)).
\( \Rightarrow \)có \(1.9.8 = 72\)số.
TH2: \(c = 5\)
+ Chọn \(c\): có 1 cách.
+ Chọn \(a\): có 8 cách (\(a \ne 5,\,a \ne 0\)).
+ Chọn \(b\): có 8 cách (\(b \ne 5,b \ne a\)).
\( \Rightarrow \)có \(1.8.8 = 64\)số.
Theo quy tắc cộng, ta có tất cả: \(72 + 64 = 136\)số thỏa ycbt.
Câu 24. Số cách xếp \(10\) học sinh thành một hàng dọc là
A. \(5!.5!.\) B. \(10!.\) C. \(10.\) D. \(25.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức hoán vị
Lời giải
Chọn B
Mỗi cách xếp hàng là một hoán vị của \(10\)phần tử
Vậy có \(10!\)cách xếp hàng.
Câu 25. Cho tập hợp \(X = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Từ tập \(X\) lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?
A. \(100.\) B. \(60.\) C. \(120.\) D. \(125.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức chỉnh hợp
Lời giải
Chọn B
Mỗi số cần lập là một chỉnh hợp chập 3 của 5. Vậy có \(A_5^3 = 60\) số.
Câu 26. Trên một đường tròn có \(8\) điểm phân biệt. Số tam giác nhận \(3\) trong số \(8\) điểm đó làm đỉnh là
A. \(58.\) B. \(56.\) C. \(54.\) D. \(52.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức tổ hợp
Lời giải
Chọn B
Mỗi tam giác tìm được tương ứng với một tổ hợp chập \(3\) của \(8\) phần tử.
Vậy số tam giác là: \(C_8^3 = 56\).
Câu 27. Trong một trận chung kết bóng đá cần phải đá luân lưu 11 mét để phân định thắng thua, huấn luyện viên cần trình với trọng tài một danh sách 3 cầu thủ trong 7 cầu thủ đang có trên sân để lần lượt theo thứ tự đá đủ 3 quả sút luân lưu (mỗi cầu thủ đá đúng một lần). Huấn luyện viên có tất cả bao nhiêu cách chọn?
A. \(70.\) B. \(2187.\) C. \(823543.\) D. \(210.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức chỉnh hợp
Lời giải
Chọn D
Mỗi cách chọn ra 3 cầu thủ trong 7 cầu thủ để thực hiện đá luân lưu ?là một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử.
Vậy số cách chọn là \(A_7^3 = 210\)cách.
Câu 28. Có \(3\) nam và \(3\) nữ xếp thành một hàng. Số cách sắp xếp để nam nữ đứng xen kẽ là:
A. \(36.\) B. \(72.\) C. \(144.\) D. \(720.\)
Phương pháp
Áp dụng các quy tắc đếm
Lời giải
Chọn B
Đánh số thứ tự xếp hàng từ 1 đến 6.
TH1: Nam số chẵn, nữ số lẻ.
+ Xếp 3 nam vào 3 vị trí đánh số chẵn, có \(3!\) cách xếp.
+ Xếp 3 nữ vào vào 3 vị trí đánh số lẻ, có \(3!\) cách xếp.
Vậy TH1 có \(3!.3! = 36\) cách.
TH2: Nam số lẻ, nữ số chẵn.
Tương tự TH1, trong TH2 có 36 cách xếp.
Vậy có \(36 + 36 = 72\) cách xếp.
Câu 29. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {2x - 3} \right)^{2018}}\)?
A. \(2019.\) B. \(2017.\) C. \(2018.\) D. \(2020.\)
Phương pháp
Áp dụng Khai triển nhị thức Newton.
Lời giải
Chọn A
Trong khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^n}\) thì số các số hạng là \(n + 1\) nên trong khai triển \({\left( {2x - 3} \right)^{2018}}\) có \(2019\) số hạng.
Câu 30. Xét phép thử tung con súc sắc \(6\) mặt hai lần. Biến cố \(A:\) “ số chấm xuất hiện ở cả hai lần tung giống nhau”
A. \(n\left( A \right) = 6.\)
B. \(n\left( A \right) = 36.\)
C. \(n\left( A \right) = 16.\)
D. \(n\left( A \right) = 12.\)
Phương pháp
Áp dụng quy tắc đếm
Lời giải
Chọn A
Ta có số chấm xuất hiện ở cả hai lần tung giống nhau
\(A = \left\{ {\left( {1;1} \right),\,\left( {2;2} \right),\,\left( {3;3} \right),\,\left( {4;4} \right),\,\left( {5;5} \right),\left( {6;6} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 6\).
Câu 31. Rút ngẫu nhiên cùng lúc ba con bài từ cỗ bài tú lơ khơ \(52\) con thì \(n\left( \Omega \right)\) bằng bao nhiêu?
A. \(140608.\) B. \(156.\) C. \(132600.\) D. \(22100.\)
Phương pháp
Áp dụng csc quy tắc đếm
Lời giải
Chọn D
Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{52}^3 = 22100\).
Câu 32. Gieo một đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp hai lần. Tính xác suất để cả hai lần gieo đều được mặt sấp.
A. \(\frac{1}{4}.\) B. \(\frac{1}{6}.\) C. \(\frac{1}{8}.\) D. \(\frac{1}{2}.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức tính xác suất.
Lời giải
Chọn A
Gọi \(\Omega \) là không gian mẫu. Gieo một đồng xu hai lần liên tiếp nên \(n\left( \Omega \right) = 2.2 = 4.\)
Gọi \(A\)” Cả hai lần gieo đều mặt sấp” nên \(n\left( A \right) = 1.1 = 1.\)
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{4}.\)
Câu 33. Một đoàn đại biểu gồm \(5\)người được chọn ra từ một tổ gồm \(8\)nam và \(7\)nữ để tham dự hội nghị. Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng \(2\)người nữ là
A. \(\frac{{56}}{{143}}.\)
B. \(\frac{{140}}{{429}}.\)
C. \(\frac{1}{{143}}.\)
D. \(\frac{{28}}{{715}}.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức tính xác suất.
Lời giải
Chọn A
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{15}^5\).
Gọi biến cố \(A\): “Chọn được đoàn đại biểu có đúng \(2\)người nữ”
\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_7^2.C_8^3\).
Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{56}}{{143}}\)
Câu 34. Đội văn nghệ của lớp có \(5\) bạn nam và \(7\) bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên \(5\) bạn tham gia biểu diễn, xác suất để trong \(5\) bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số nam nhiều hơnsố nữ bằng:
A. \(\frac{{245}}{{792}}.\)
B. \(\frac{{210}}{{792}}.\)
C. \(\frac{{547}}{{792}}.\)
D. \(\frac{{582}}{{792}}.\)
Phương pháp
Áp dụng công thức tính xác suất.
Lời giải
Chọn A
Số phần tử không gian mẫu là số cách chọn \(5\) bạn trong \(12\) bạn, do đó \(\left| \Omega \right| = C_{12}^5\).
Để chọn các bạn thỏa bài toán có các phương án:
+ Chọn được \(3\) bạn nam, \(2\) bạn nữ: \(C_5^3.C_7^2\).
+ Chọn được \(4\) bạn nam, \(1\) bạn nữ: \(C_5^4.C_7^1\).
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố là \(C_5^3.C_7^2 + C_5^4.C_7^1\).
Xác suất \(\frac{{C_5^3.C_7^2 + C_5^4.C_7^1}}{{C_{12}^5}} = \frac{{245}}{{792}}\).
Câu 35. Gieo con súc sắc hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm:
A. \(A = \left\{ {\left( {1;6} \right),\,\left( {2;6} \right),\,\left( {3;6} \right),\,\left( {4;6} \right),\,\left( {5;6} \right)} \right\}.\)
B. \(A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right)} \right\}.\)
C. \(A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right),\,\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}.\)
D. \(A = \left\{ {\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}.\)
Phương pháp
Áp dụng các quy tắc đếm
Lời giải
Chọn C
Liệt kê ta có: \(A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right),\,\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}\).
II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)
Câu 36. Trong mặt phẳng \(Oxy\), viết phương trình chính tắc của elip \(\left( E \right)\) biết \(\left( E \right)\) đi qua \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và \(M\) nhìn hai tiêu điểm \({F_1},\,{F_2}\) dưới một góc vuông.
Phương pháp
Áp dụng công thức của Elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Lời giải
Gọi \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Ta có: \(\left( E \right)\) đi qua \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) nên: \(\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\) \( \Leftrightarrow \,\,16{a^2} + 9{b^2} = 5{a^2}{b^2}\)\(\left( 1 \right)\)
Vì \(M\) nhìn hai tiêu điểm \({F_1},\,{F_2}\) dưới một góc vuông nên: \(OM = \frac{{{F_1}{F_2}}}{2} = c\)
\( \Leftrightarrow \,\,O{M^2} = {c^2}\) \( \Leftrightarrow \,\,\frac{9}{5} + \frac{{16}}{5} = {c^2}\) \( \Leftrightarrow \,\,{a^2} - {b^2} = {c^2} = 5\) \( \Leftrightarrow \,\,{a^2} = 5 + {b^2}\) thế vào \(\left( 1 \right)\) ta được:
\(16\left( {5 + {b^2}} \right) + 9{b^2} = 5\left( {5 + {b^2}} \right){b^2}\) \( \Leftrightarrow \,\,{b^4} = 16\) \( \Rightarrow \,\,{b^2} = 4\) nên \({a^2} = 9\)
Vậy: \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)
Câu 37. Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\)trong khai triển Nhị thức Niu tơn: \({\left( {\frac{n}{{2x}} + \frac{x}{2}} \right)^{2n}}\)\(\left( {x \ne 0} \right)\), biết số nguyên dương \(n\)thỏa mãn \(C_n^3 + A_n^2 = 50.\)
Phương pháp
Sử dụng công thức khai triển Newton
Lời giải
Ta có \(C_n^3 + A_n^2 = 50\)\(\left( {n \ge 3,n \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Rightarrow \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}}\)\( + \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 50\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{1} = 50\)\( \Leftrightarrow {n^3} + 3{n^2} - 4n - 300 = 0\)\( \Leftrightarrow n = 6\)
Khi đó khai triển \({\left( {\frac{n}{{2x}} + \frac{x}{2}} \right)^{12}}\)có số hạng tổng quát \(C_{12}^k{3^{12 - k}}{.2^{ - k}}.{x^{2k - 12}}\)\(\left( {k \in \mathbb{N},k \le 12} \right)\)
Số hạng chứa \({x^8}\)\( \Rightarrow 2k - 12 = 8\)\( \Leftrightarrow k = 10\)
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) là : \(C_{12}^{10}{.3^2}{.2^{ - 10}}\)\( = \frac{{297}}{{512}}.\)
Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) lần lượt có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {3^2}\) và \(3x + 4y + 1 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \), biết \(\Delta \) cắt \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài lớn nhất và \(\Delta \) tạo với \(d\) một góc \(45^\circ \).
Phương pháp
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có: \(\cos \left( {a,b} \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\).
Lời giải
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,2} \right)\), bán kính \(R = 3\)
Vì \(\Delta \) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài lớn nhất nên \(\Delta \) đi qua tâm \(I\)
Gọi \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {a;\,b} \right)\) là vecto pháp tuyến của \(\Delta \)
Suy ra \(\Delta :a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(\Delta :ax + by - a - 2b = 0\)
\(d\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {3;\,4} \right)\)
Ta có: \(\cos \left( {d,\,\Delta } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_d}} ,\,\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right)} \right|\)\( = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|}}\)
\( \Leftrightarrow \cos 45^\circ = \frac{{\left| {3a + 4b} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {3a + 4b} \right|}}{{5.\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)\( \Leftrightarrow 5\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 2 \left| {3a + 4b} \right|\)
\( \Leftrightarrow 7{a^2} - 48ab - 7{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 7b\\a = - \frac{1}{7}b\end{array} \right.\)
+) Với \(a = 7b\). Ta chọn \(b = 1\), \(a = 7\). Suy ra \(\Delta :7x + y - 9 = 0\)
+) Với \(a = - \frac{1}{7}b\). Ta chọn \(b = - 7\), \(a = 1\). Suy ra \(\Delta :x - 7y + 13 = 0\)
Câu 39. Một tổ có 10 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có 2 học sinh tên An và Tâm và 6 học sinh nam. Xếp 10 học sinh trong tổ ngồi thành một hàng dọc. Tính xác suất để chỉ có hai học sinh nữ An và Tâm ngồi cạnh nhau còn các học sinh nữ khác không ngồi cạnh nhau đồng thời cũng không ngồi cạnh An và Tâm.
Phương pháp
Sử dụng các quy tắc đếm.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách sắp xếp 10 học sinh ngồi theo hàng dọc: \(n(\Omega ) = 10!\)
Gọi biến cố A: “10 học sinh ngồi thành hàng dọc mà chỉ có An và Tâm ngồi cạnh nhau còn các học sinh khác không ngồi cạnh nhau và không ngồi cạnh An và Tâm”
Ta xem An và Tâm như một nhóm X.
Số cách sắp xếp trong nhóm X là: 2!
Số cách sắp xếp 6 bạn nam thành một hàng dọc là: 6!
Để xảy ra biến cố A, ta xếp nhóm X và hai bạn nữ còn lại vào 7 khoảng trống do 6 bạn nam tạo ra sao cho X và hai bạn nữ không tạo thành cặp gần nhau. Số cách là: \(A_7^3\)
Vậy: \(n(A) = 2.6!A_7^3\)
Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{2.6!.A_7^3}}{{10!}} = \frac{1}{{12}}.\)
---------------------------------------------------HẾT ---------------------------------------------------
Đề kiểm tra học kì 2 Toán 10 - Đề số 3 - Chân trời sáng tạo là một bài kiểm tra quan trọng giúp học sinh đánh giá mức độ nắm vững kiến thức đã học trong học kì. Đề thi bao gồm nhiều dạng bài tập khác nhau, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Bài viết này sẽ phân tích chi tiết từng câu hỏi trong đề thi, cung cấp hướng dẫn giải chi tiết và những lưu ý quan trọng để giúp học sinh đạt kết quả tốt nhất.
Đề thi thường bao gồm các chủ đề chính sau:
Câu 1: (Vecto) Đề bài yêu cầu tính tổng hoặc hiệu của hai vecto. Để giải quyết câu hỏi này, học sinh cần nắm vững các quy tắc cộng, trừ vecto và biểu diễn vecto trên hệ tọa độ.
Câu 2: (Tích vô hướng) Đề bài yêu cầu chứng minh hai vecto vuông góc. Học sinh cần sử dụng tính chất của tích vô hướng: hai vecto vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
Câu 3: (Phương trình đường thẳng) Đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm hoặc song song với một đường thẳng cho trước. Học sinh cần nắm vững các dạng phương trình đường thẳng và điều kiện song song, vuông góc.
Câu 4: (Phương trình đường tròn) Đề bài yêu cầu xác định tâm và bán kính của đường tròn. Học sinh cần nắm vững phương trình đường tròn và các yếu tố liên quan.
Câu 5: (Bất đẳng thức) Đề bài yêu cầu chứng minh một bất đẳng thức. Học sinh cần sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức.
Khi giải đề thi, học sinh cần:
Để ôn luyện và nâng cao kiến thức Toán 10, học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau:
Đề kiểm tra học kì 2 Toán 10 - Đề số 3 - Chân trời sáng tạo là một cơ hội tốt để học sinh đánh giá năng lực bản thân và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Hy vọng với những phân tích chi tiết và hướng dẫn giải trong bài viết này, học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài và đạt kết quả tốt nhất.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
