Trắc nghiệm Bài 25: Đa thức một biến Toán 7 Kết nối tri thức

+ Thực hiện phép nhân 2 đơn thức

+ Bậc của đơn thức là số mũ của lũy thừa của biến.

Ta có: (-2x²).5x³ = (-2). 5 . (x² . x³) = -10 . x⁵

Bậc của đơn thức này là 5

Sử dụng định nghĩa đa thức một biến: Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.

Đa thức \({x^3} - 2{x^2} + 3\) là đa thức một biến

Áp dụng định nghĩa hệ số tự do của đa thức: “Hệ số của lũy thừa 0 của biến gọi là hệ số tự do”

Hệ số tự do của đa thức \({x^2} + \left( {a + b} \right)x - 5a + 3b + 2\) là \( - 5a + 3b + 2.\) (vì a và b là các hằng số)

\(- 5a + 3b + 2\) là hệ số không chứa biến x nên là hệ số tự do.

Lưu ý: a, b không phải là biến.

Áp dụng định nghĩa hệ số cao nhất của đa thức: “hệ số của lũy thừa cao nhất của biến gọi là hệ số cao nhất.”

Hệ số cao nhất của đa thức \(5{x^6} + 6{x^5} + {x^4} - 3{x^2} + 7\) là hệ số của \(x^6\).

Hệ số của \(x^6\) là \(5\) nên hệ số cao nhất của đa thức là 5.

Viết đa thức dưới dạng thu gọn. Trong dạng thu gọn, bậc của đa thức một biến là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó

Ta có số mũ cao nhất của biến trong đa thức \(8{x^8} - {x^2} + {x^9} + {x^5} - 12{x^3} + 10\) là \(9\) nên bậc của đa thức \(8{x^8} - {x^2} + {x^9} + {x^5} - 12{x^3} + 10\) là \(9.\)

Sắp xếp các hạng tử theo số mũ của biến giảm dần từ cao xuống thấp

Ta có: \(6{x^3} + 5{x^4} - 8{x^6} - 3{x^2} + 4 = - 8{x^6} + 5{x^4} + 6{x^3} - 3{x^2} + 4\)

Thay x = - 2 vào đa thức rồi tính giá trị đa thức

Thay \(x = - 2\) vào biểu thức \(A\), ta có

\(A = {\left( { - 2} \right)^4} - 4.{\left( { - 2} \right)^3} + \left( { - 2} \right) - 3.{\left( { - 2} \right)^2} + 1\)

\( = 16 + 32 - 2 - 12 + 1 = 35\)

Vậy với \(x = - 2\) thì \(A = 35.\)

Thay giá trị của biến \(x = - 2\) vào mỗi biểu thức và thực hiện phép tính để tính \(f\left( { - 2} \right)\) và \(g\left( { - 2} \right).\) So sánh \(f\left( { - 2} \right)\) và \(g\left( { - 2} \right).\)

Thay \(x = - 2\) vào \(f\left( x \right) = {x^5} + 2\) ta được \(f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^5} + 2 = - 30\)

Thay \(x = - 2\) vào \(g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2\)ta được \(g\left( { - 2} \right) = 5.{\left( { - 2} \right)^3} - 4.\left( { - 2} \right) + 2 = - 30\)

Suy ra \(f\left( { - 2} \right) = g\left( { - 2} \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\, - 30 = - 30} \right)\)

Ta thay \(x = 1;x = - 1\) vào \(f\left( x \right)\) để tính \(f\left( 1 \right);f\left( { - 1} \right)\)

Thay \(x = 1\) vào \(f\left( x \right)\) ta được \(f\left( 1 \right) = 1 + {1^3} + {1^5} + {1^7} + ... + {1^{101}}\) \( = \underbrace {1 + 1 + 1 + ... + 1}_{51\,số\,1} = 51.1 = 51\)

Thay \(x = - 1\) vào \(f\left( x \right)\) ta được \(f\left( { - 1} \right) = 1 + {\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^5} + ... + {\left( { - 1} \right)^{101}}\)

\( = 1 + \underbrace {\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + ... + \left( { - 1} \right)}_{5\,0\,số\,\,\left( { - 1} \right)}\) \( = 1 + 50.\left( { - 1} \right) = 1 - 50 = - 49\)

Vậy \(f\left( 1 \right) = 51;f\left( { - 1} \right) = - 49\)

Thay \(x = 0\) vào \(f\left( x \right)\) và sử dụng \(f\left( 0 \right) = 7\) để tìm \(b.\) Thay \(x = 2\) vào \(f\left( x \right)\) và sử dụng \(f\left( 2 \right) = 7\) để tìm \(a.\)

Thay \(x = 0\) vào \(f\left( x \right)\) ta được \(f\left( 0 \right) = a.0 + b = 7 \Rightarrow b = 7\)

Ta được \(f\left( x \right) = ax + 7\)

Thay \(x = 2\) vào \(f\left( x \right) = ax + 7\) ta được \(f\left( 2 \right) = a.2 + 7 = 13 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3\)

Vậy \(f\left( x \right) = 3x + 7.\)

Thay lần lượt các giá trị x = - 9 ; x = 1 ; x = -1 và x = -4 vào f(x). Tại giá trị x nào mà làm f(x) = 0 thì giá trị x đó là nghiệm của đa thức f(x)

Ta có : f(-9) = 3. (-9)² + 15 . (-9) + 12 = 3.81 + (-135) +12 = 120

f(1) = 3. 1² +15 . 1 + 12 = 30

f(-1) = 3. (-1)² + 15. (-1) +12 = 0

f(-2) = 3. (-2)² + 15. (-2) + 12 = -6

Vì f(-1) = 0 nên x = -1 là nghiệm của đa thức f(x)

Muốn tìm nghiệm của đa thức f(x), ta giải f(x) = 0 để tìm x.

f(x) =A . B = 0 khi A = 0 hoặc B = 0

\(f(x) = 0 \Rightarrow (x + 14)(x - 4) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 14 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 14\\x = 4\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của đa thức f(x) là {4; –14}.

Muốn biết đa thức P(x) có bao nhiêu nghiệm, ta giải P(x) = 0 để tìm x.

\(P(x) = 0 \)

\(- 3{x^2} + 27 = 0 \)

\(- 3{x^2} = - 27 \)

\({x^2} = 9 \)

suy ra \(x = 3\) hoặc \(x = - 3\)

Vậy đa thức P(x) có 2 nghiệm.

Q(x) nhận –3 là nghiệm nên Q(–3) = 0, từ đó ta tìm được a.

Q(x) nhận –3 là nghiệm nên Q(–3) = 0 nên:

\(\begin{array}{l}a.{( - 3)^2} - 3.( - 3) + 9 = 0 \\9a + 9 + 9 = 0\\9a = - 18\\a = - 2\end{array}\)

Vậy Q(x) nhận –3 là nghiệm thì \(a = - 2\).

Các đa thức có hệ số tự do là 0 thì có một nghiệm là x = 0.

+ Đưa đa thức đã cho về dạng x . A

+ x . A = 0 khi x = 0 hoặc A = 0

Xét - x² + 3x = 0

x . (-x +3) = 0

\( - x + 3 = 0\) hoặc \(x = 0\)

\(x = 3\) hoặc \(x = 0\)

Vậy x = 0; x = 3

Nhóm các hạng tử cùng bậc rồi thu gọn

M = -x² + 5x – 4x³ + (-2x)²

= -x² + 5x – 4x³ + 4x²

=( -x² + 4x²) + 5x – 4x³

=3x² + 5x – 4x³

Nếu f(a) = 0 thì a là nghiệm của đa thức f(x).

Vì \((x - 1)f(x) = (x + 4)f(x + 8)\)với mọi x nên suy ra:

• Khi x – 1 = 0, hay x = 1 thì ta có:

 \((1 - 1).f(1) = (1 + 4)f(1 + 8)\\ 0.f(1) = 5.f(9)\\f(9) = 0\)

Vậy x = 9 là một nghiệm của f(x).

• Khi x + 4 = 0, hay x = –4 thì ta có:

\(( - 4 - 1).f( - 4) = ( - 4 + 4).f( - 4 + 8)\\ - 5.f( - 4) = 0.f(4) \\ f( - 4) = 0\)

Vậy x = –4 là một nghiệm của f(x).

Vậy f(x) có ít nhất 2 nghiệm là 9 và –4.