Trắc nghiệm Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh trong một tam giác Toán 7 Kết nối tri thức

Áp dụng bất đẳng thức tam giác.

Vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại và hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại nên các đáp án A, B, C đều đúng, đáp án D sai.

Ta kiểm tra tổng độ dài 2 đoạn thẳng ngắn hơn có lớn hơn độ dài đoạn thẳng dài nhất hay không. Nếu thỏa mãn thì 3 đoạn thẳng đã cho ghép được thành 1 tam giác.

+ Xét bộ ba: $3cm,5cm,7cm.$ Ta có: \(3 + 5 = 8 > 7\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $3cm,5cm,7cm$ lập thành một tam giác. Loại đáp án A.

+ Xét bộ ba: $4cm,5cm,6cm$. Ta có: \(4 + 5 = 9 > 6\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $4cm,5cm,6cm$ lập thành một tam giác. Loại đáp án B.

+ Xét bộ ba: $2cm,5cm,7cm.$ Ta có: \(2 + 5 = 7\) (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $2cm,5cm,7cm$ không lập thành một tam giác. Chọn đáp án C.

+ Xét bộ ba: $3cm,5cm,6cm.$ Ta có: \(3 + 5 = 8 > 6\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $3cm,5cm,6cm$ lập thành một tam giác. Loại đáp án D.

Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại và lớn hơn hiệu độ dài 2 cạnh còn lại: b – c < a < b + c ( với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác)

Kết hợp điều kiện độ dài cạnh CA là số nguyên chẵn

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(6 - 2 < AC< 6 + 2 \)

\(4 < AC < 8\).

Vì độ dài $AC$ là số tự nhiên chẵn nên $AC = 6cm.$

Vậy độ dài cạnh $AC = 6cm.$

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác để tính cạnh \(AC.\)

Từ đó tính chu vi tam giác \(ABC.\)

Gọi độ dài cạnh $AC$ là \(x\left( {x > 0} \right)\). Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(6 - 1 < x < 6 + 1 \Leftrightarrow 5 < x < 7\). Vì $x$ là số nguyên nên $x = 6.$ Độ dài cạnh $AC = 6cm.$

Chu vi tam giác \(ABC\) là \(AB + BC + AC = 1 + 6 + 6 = 13\,cm.\)

 - Áp dụng tính chất tam giác cân.

- Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Giả sử \(\Delta ABC\) cân tại $A.$

- Trường hợp 1:

\(AB = AC = 5cm \) thì \( BC = 17 - 5 - 5 = 7cm.\)

Ta có: \(AB + AC = 5 + 5 = 10 > BC = 7cm\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

- Trường hợp 2: \(BC = 5cm \) thì \(AB = AC = \left( {17 - 5} \right):2 = 6cm\)

Ta có: \(AB + BC = 5 + 6 = 11 > AC = 6cm\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Vậy nếu \(\Delta ABC\) cân tại A có:

+ \(AB = AC = 5cm \) thì \(BC = 7cm\)

+ \(BC = 5cm \) thì \(AB = AC = 6cm\)

Vậy \(BC = 7\,cm\) hoặc \(BC = 5\,cm.\)

- Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $N$ sao cho $MN = MA.$

- Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $N$ sao cho $MN = MA.$

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ (gt) \( \Rightarrow MB = MC\) (tính chất trung điểm)

Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MNC\) có:

\(MB = MC\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat {AMB} = \widehat {NMC}\) (đối đỉnh)

\(AM = MN\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta MAB = \Delta MNC\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow NC = AB\left( 1 \right)\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ACN\) có: \(AN < AC + CN\left( 2 \right)\) (bất đẳng thức tam giác)

Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow AN < AC + AB\).

Mặt khác, \(AN = 2AM\left( {gt} \right) \Rightarrow 2AM < AB + AC.\)

- Gọi giao điểm của $AO$ và $BC$ là $D.$

- Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Gọi giao điểm của $AO$ và $BC$ là $D.$ Do $O$ nằm trong \(\Delta ABC\) nên $D$ nằm giữa $B$ và $C$\( \Rightarrow BC = BD + DC\left( * \right)\)

Xét \(\Delta ABD\) có: \(AD < AB + BD\) (bất đẳng thức tam giác)

\( \Rightarrow OA + OD < AB + BD\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta OCD\) có: \(OC < OD + DC\left( 2 \right)\) (bất đẳng thức tam giác)

Cộng vế với vế của \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được:

\(OA + OD + OC < AB + BD + OD + DC\) \( \Rightarrow OA + OC < AB + BD + DC\left( {**} \right)\)

Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right)\) ta có: \(OA + OC < AB + BC.\)

Sử dụng quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh kia.

Áp dụng quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác:

Xét tam giác \(AED\) có \(AE + ED > AD\,\,\,\left( 1 \right)\) 

Xét tam giác \(ECD\) có \(CE + DE > CD\,\,\left( 2 \right)\) 

Xét tam giác \(EBC\) có \(EB + EC > BC\,\left( 3 \right)\) 

Xét tam giác \(ABE\) có \(AE + EB > AB\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right);\left( 4 \right)\) ta có \(AE + DE + CE + DE + BE + CE + AE + BE > AD + CD + BC + AB\)

Mà \(AE + EC = AC;\,DE + BE = BD\) nên \(2\left( {AC + BD} \right) > AB + BC + CD + DA\) .

- Nối đoạn thẳng AD.

- Áp dụng bất đẳng thức tam giác chứng minh: \(AD < AC + CD\), \(AD < AB + DB\). Từ đó lập luận suy ra điều phải chứng minh.

Nối đoạn thẳng AD.

Xét \(\Delta ADC\) có: \(AD < AC + CD\) (bất đẳng thức tam giác) (1)

Xét \(\Delta ADB\) có: \(AD < AB + DB\) (bất đẳng thức tam giác) (2)

Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\) (gt) nên \(D\) nằm giữa \(B\) và \(C\) ta có: \(CD + DB = BC.\)

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:

\(\begin{array}{l}AD + AD < AC + CD + AB + DB\\ \Rightarrow 2AD < AB + \left( {CD + DB} \right) + AC\\ \Rightarrow 2AD < AB + BC + AC\\ \Rightarrow AD < \dfrac{{AB + BC + AC}}{2}\end{array}\)

Do đó \(AD\) nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác \(ABC\).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác.

Vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại và hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại nên các đáp án A, B, C đều đúng, đáp án D sai.

Ta kiểm tra tổng độ dài 2 đoạn thẳng ngắn hơn có lớn hơn độ dài đoạn thẳng dài nhất hay không. Nếu thỏa mãn thì 3 đoạn thẳng đã cho ghép được thành 1 tam giác.

+ Xét bộ ba: $3cm,5cm,7cm.$ Ta có: \(3 + 5 = 8 > 7\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $3cm,5cm,7cm$ lập thành một tam giác. Loại đáp án A.

+ Xét bộ ba: $4cm,5cm,6cm$. Ta có: \(4 + 5 = 9 > 6\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $4cm,5cm,6cm$ lập thành một tam giác. Loại đáp án B.

+ Xét bộ ba: $2cm,5cm,7cm.$ Ta có: \(2 + 5 = 7\) (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $2cm,5cm,7cm$ không lập thành một tam giác. Chọn đáp án C.

+ Xét bộ ba: $3cm,5cm,6cm.$ Ta có: \(3 + 5 = 8 > 6\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $3cm,5cm,6cm$ lập thành một tam giác. Loại đáp án D.

Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại và lớn hơn hiệu độ dài 2 cạnh còn lại: b – c < a < b + c ( với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác)

Kết hợp điều kiện độ dài cạnh CA là số nguyên chẵn

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(6 - 2 < AC< 6 + 2 \)

\(4 < AC < 8\).

Vì độ dài $AC$ là số tự nhiên chẵn nên $AC = 6cm.$

Vậy độ dài cạnh $AC = 6cm.$

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác để tính cạnh \(AC.\)

Từ đó tính chu vi tam giác \(ABC.\)

Gọi độ dài cạnh $AC$ là \(x\left( {x > 0} \right)\). Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(6 - 1 < x < 6 + 1 \Leftrightarrow 5 < x < 7\). Vì $x$ là số nguyên nên $x = 6.$ Độ dài cạnh $AC = 6cm.$

Chu vi tam giác \(ABC\) là \(AB + BC + AC = 1 + 6 + 6 = 13\,cm.\)

 - Áp dụng tính chất tam giác cân.

- Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Giả sử \(\Delta ABC\) cân tại $A.$

- Trường hợp 1:

\(AB = AC = 5cm \) thì \( BC = 17 - 5 - 5 = 7cm.\)

Ta có: \(AB + AC = 5 + 5 = 10 > BC = 7cm\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

- Trường hợp 2: \(BC = 5cm \) thì \(AB = AC = \left( {17 - 5} \right):2 = 6cm\)

Ta có: \(AB + BC = 5 + 6 = 11 > AC = 6cm\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Vậy nếu \(\Delta ABC\) cân tại A có:

+ \(AB = AC = 5cm \) thì \(BC = 7cm\)

+ \(BC = 5cm \) thì \(AB = AC = 6cm\)

Vậy \(BC = 7\,cm\) hoặc \(BC = 5\,cm.\)

- Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $N$ sao cho $MN = MA.$

- Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $N$ sao cho $MN = MA.$

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ (gt) \( \Rightarrow MB = MC\) (tính chất trung điểm)

Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MNC\) có:

\(MB = MC\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat {AMB} = \widehat {NMC}\) (đối đỉnh)

\(AM = MN\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta MAB = \Delta MNC\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow NC = AB\left( 1 \right)\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ACN\) có: \(AN < AC + CN\left( 2 \right)\) (bất đẳng thức tam giác)

Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow AN < AC + AB\).

Mặt khác, \(AN = 2AM\left( {gt} \right) \Rightarrow 2AM < AB + AC.\)

- Gọi giao điểm của $AO$ và $BC$ là $D.$

- Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Gọi giao điểm của $AO$ và $BC$ là $D.$ Do $O$ nằm trong \(\Delta ABC\) nên $D$ nằm giữa $B$ và $C$\( \Rightarrow BC = BD + DC\left( * \right)\)

Xét \(\Delta ABD\) có: \(AD < AB + BD\) (bất đẳng thức tam giác)

\( \Rightarrow OA + OD < AB + BD\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta OCD\) có: \(OC < OD + DC\left( 2 \right)\) (bất đẳng thức tam giác)

Cộng vế với vế của \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được:

\(OA + OD + OC < AB + BD + OD + DC\) \( \Rightarrow OA + OC < AB + BD + DC\left( {**} \right)\)

Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right)\) ta có: \(OA + OC < AB + BC.\)

Sử dụng quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh kia.

Áp dụng quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác:

Xét tam giác \(AED\) có \(AE + ED > AD\,\,\,\left( 1 \right)\) 

Xét tam giác \(ECD\) có \(CE + DE > CD\,\,\left( 2 \right)\) 

Xét tam giác \(EBC\) có \(EB + EC > BC\,\left( 3 \right)\) 

Xét tam giác \(ABE\) có \(AE + EB > AB\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right);\left( 4 \right)\) ta có \(AE + DE + CE + DE + BE + CE + AE + BE > AD + CD + BC + AB\)

Mà \(AE + EC = AC;\,DE + BE = BD\) nên \(2\left( {AC + BD} \right) > AB + BC + CD + DA\) .

- Nối đoạn thẳng AD.

- Áp dụng bất đẳng thức tam giác chứng minh: \(AD < AC + CD\), \(AD < AB + DB\). Từ đó lập luận suy ra điều phải chứng minh.

Nối đoạn thẳng AD.

Xét \(\Delta ADC\) có: \(AD < AC + CD\) (bất đẳng thức tam giác) (1)

Xét \(\Delta ADB\) có: \(AD < AB + DB\) (bất đẳng thức tam giác) (2)

Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\) (gt) nên \(D\) nằm giữa \(B\) và \(C\) ta có: \(CD + DB = BC.\)

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:

\(\begin{array}{l}AD + AD < AC + CD + AB + DB\\ \Rightarrow 2AD < AB + \left( {CD + DB} \right) + AC\\ \Rightarrow 2AD < AB + BC + AC\\ \Rightarrow AD < \dfrac{{AB + BC + AC}}{2}\end{array}\)

Do đó \(AD\) nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác \(ABC\).